2023年四川省中考数学真题分类汇编：图形认识初步、相交线与平行线

试卷更新日期：2023-07-30 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点C，D在 $⊙ O$ 上，连接 $C D ， O D ， A C$ ，若 $∠ B O D = 124 °$ ，则 $∠ A C D$ 的度数是（　　）

A、 $56 °$ B、 $33 °$ C、 $28 °$ D、 $23 °$

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2. 如图， $A B ∥ C D$ ，若 $∠ D = 55 °$ ，则 $∠ 1$ 的度数为（）

A、 $125 °$ B、 $135 °$ C、 $145 °$ D、 $155 °$

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3. 如图，在 $△ A B C$ 中，点D、E为边 $A B$ 的三等分点，点F、G在边 $B C$ 上， $A C ∥ D G ∥ E F$ ，点H为 $A F$ 与 $D G$ 的交点．若 $A C = 12$ ，则 $D H$ 的长为（　　）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、3

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4. 如图， $A B$ 切 $⊙ O$ 于点B，连接 $O A$ 交 $⊙ O$ 于点C， $B D ∥ O A$ 交 $⊙ O$ 于点D，连接 $C D$ ，若 $∠ O C D = 25 °$ ，则 $∠ A$ 的度数为（）

A、 $25 °$ B、 $35 °$ C、 $40 °$ D、 $45 °$

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5. 如图， $A B ∥ C D$ ，且 $∠ A = 40 °$ ， $∠ D = 24 °$ ，则 $∠ E$ 等于（　　）

A、 $40 °$ B、 $32 °$ C、 $24 °$ D、 $16 °$

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6. 如图， $A E ∥ C D$ ， $A C$ 平分 $∠ B C D$ ， $∠ 2 = 35 ° ， ∠ D = 60 °$ 则 $∠ B =$ （）

A、 $52 °$ B、 $50 °$ C、 $45 °$ D、 $25 °$

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7. 下列图形中，是长方体表面展开图的是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图， $∠ 1 = 45 ° ， ∠ 2 = 120 °$ ，则 $∠ 3 + ∠ 4 =$ （）

A、 $165 °$ B、 $155 °$ C、 $105 °$ D、 $90 °$

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9. 如图，某人沿路线 $A \to B \to C \to D$ 行走， $A B$ 与 $C D$ 方向相同， $∠ 1 = 128 °$ ，则 $∠ 2 =$ （）

A、 $52 °$ B、 $118 °$ C、 $128 °$ D、 $138 °$

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10. 如图，分别经过原点 $O$ 和点 $A (4 ， 0)$ 的动直线 $a$ ， $b$ 夹角 $∠ O B A = 30 °$ ，点 $M$ 是 $O B$ 中点，连接 $A M$ ，则 $s i n ∠ O A M$ 的最大值是（）

A、 $\frac{3 + \sqrt{6}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{5}{6}$

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二、填空题

11. 如图， $a ∥ b$ ，直线l与直线a，b分别交于B，A两点，分别以点A，B为圆心，大于 $\frac{1}{2} A B$ 的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线 $E F$ ，分别交直线a，b于点C，D，连接AC，若 $∠ C D A = 34 °$ ，则 $∠ C A B$ 的度数为．

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12. 如图，圆柱形玻璃杯的杯高为 $9 c m$ ，底面周长为 $16 c m$ ，在杯内壁离杯底 $4 c m$ 的点 $A$ 处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿 $1 c m$ ，且与蜂蜜相对的点 $B$ 处，则蚂蚁从外壁 $B$ 处到内壁 $A$ 处所走的最短路程为 $c m$ ．（杯壁厚度不计）

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13. 如图，点O在直线AB上，OD是 $∠ B O C$ 的平分线，若 $∠ A O C = 140 °$ ，则 $∠ B O D$ 的度数为．

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中，D是边AB上一点，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；②以点D为圆心，以AM长为半径作弧，交DB于点 $M'$ ；③以点 $M'$ 为圆心，以MN长为半径作弧，在 $∠ B A C$ 内部交前面的弧于点 $N'$ ；④过点 $N'$ 作射线 $D N'$ 交BC于点E. 若 $△ B D E$ 与四边形ACED的面积比为4：21，则 $\frac{B E}{C E}$ 的值为.

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三、解答题

15. 如图，点 $B$ 在线段 $A C$ 上， $B D ∥ C E$ ， $A B = E C$ ， $D B = B C$ ．求证： $A D = E B$ ．

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16. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O ， B E ⊥ A C$ ， $D F ⊥ A C$ ，垂足分别为点 $E 、 F$ ，且 $A F = C E ， ∠ B A C = ∠ D C A$ ．求证：四边形 $A B C D$ 是平行四边形．

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17. 如图，已知AB与CD相交于点O， $A C ∥ B D ， A O = B O$ ，求证： $A C = B D$ ．

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18. 已知：如图， $A B ∥ D E$ ， $A B = D E$ ， $A F = D C$ ．求证： $∠ B = ∠ E$ ．

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四、综合题

19. 如图，在 $△ A B C$ 中，D是 $B C$ 的中点，E是 $A D$ 的中点，过点A作 $A F ∥ B C$ 交 $C E$ 的延长线于点F．

(1)、求证： $A F = B D$ ；

(2)、连接 $B F$ ，若 $A B = A C$ ，求证：四边形 $A D B F$ 是矩形．

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20. 如图，以 $R t △ A B C$ 的直角边 $A B$ 为直径作 $⊙ O$ ，交斜边 $A C$ 于点 $D$ ，点 $E$ 是 $B C$ 的中点，连接 $O E 、 D E$ ．

(1)、求证： $D E$ 是 $⊙ O$ 的切线．

(2)、若 $s i n C = \frac{4}{5} ， D E = 5$ ，求 $A D$ 的长．

(3)、求证： $2 D E^{2} = C D \cdot O E$ ．

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21. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ 在对角线 $A C$ 上， $∠ C B E = ∠ A D F$ ．求证：

(1)、 $A E = C F$ ；

(2)、 $B E ∥ D F$ ．

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22. 如图， $▱ A B C D$ 中，点E是 $A D$ 的中点，连接 $C E$ 并延长交 $B A$ 的延长线于点F．

(1)、求证： $A F = A B$ ；

(2)、点G是线段 $A F$ 上一点，满足 $∠ F C G = ∠ F C D$ ， $C G$ 交 $A D$ 于点H，若 $A G = 2 ， F G = 6$ ，求 $G H$ 的长．

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23. 如图，四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ，点O为对角线 $B D$ 的中点，过点O的直线l分别与 $A D$ 、 $B C$ 所在的直线相交于点E、F．（点E不与点D重合）

(1)、求证： $△ D O E ≌ △ B O F$ ；

(2)、当直线 $l ⊥ B D$ 时，连接 $B E$ 、 $D F$ ，试判断四边形 $E B F D$ 的形状，并说明理由．

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24. 如图，以 $△ A B C$ 的边AC为直径作 $⊙ O$ ，交BC边于点D，过点C作 $C E ∥ A B$ 交 $⊙ O$ 于点E，连接AD，DE， $∠ B = ∠ A D E$ .

(1)、求证： $A C = B C$ ；

(2)、若 $t a n B = 2$ ， $C D = 3$ ，求AB和DE的长.

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25. 如图，以线段 $A B$ 为直径作 $⊙ O$ ，交射线 $A C$ 于点C， $A D$ 平分 $∠ C A B$ 交 $⊙ O$ 于点D，过点D作直线 $D E ⊥ A C$ ，交 $A C$ 的延长线于点E，交 $A B$ 的延长线于点F．连接 $B D$ 并延长交 $A C$ 的延长线于点M．

(1)、求证：直线 $D E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、当 $∠ F = 30 °$ 时，判断 $△ A B M$ 的形状，并说明理由；

(3)、在（2）的条件下， $M E = 1$ ，连接 $B C$ 交 $A D$ 于点P，求 $A P$ 的长．

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26. 如图， $A B$ 与 $⊙ O$ 相切于点A，半径 $O C ∥ A B$ ， $B C$ 与 $⊙ O$ 相交于点D，连接 $A D$ ．

(1)、求证： $∠ O C A = ∠ A D C$ ；

(2)、若 $A D = 2 ， t a n B = \frac{1}{3}$ ，求 $O C$ 的长．

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27. 如图， $△ A B C$ 中，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $B C$ 于点E． $A E$ 平分 $∠ B A C$ ，过点E作 $E D ⊥ A C$ 于点D，延长 $D E$ 交 $A B$ 的延长线于点P．

(1)、求证： $P E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $s i n ∠ P = \frac{1}{3} ， B P = 4$ ，求 $C D$ 的长．

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28. 在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与x轴交于点 $A (- 3 ， 0) ， B (1 ， 0)$ 两点，与y轴交于点 $C (0 ， 3)$ ，点P是抛物线上的一个动点．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、当点P在直线 $A C$ 上方的抛物线上时，连接 $B P$ 交 $A C$ 于点D．如图1．当 $\frac{P D}{D B}$ 的值最大时，求点P的坐标及 $\frac{P D}{D B}$ 的最大值；

(3)、过点P作x轴的垂线交直线 $A C$ 于点M，连接 $P C$ ，将 $△ P C M$ 沿直线 $P C$ 翻折，当点M的对应点 $M'$ 恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标．

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29. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径， $A D = C D$ ，过点 $D$ 的直线l交 $B A$ 的延长线于点 $M$ ，交 $B C$ 的延长线于点 $N$ ，且 $∠ A D M = ∠ D A C$ ．

(1)、求证： $M N$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、求证： $A D^{2} = A B \cdot C N$ ；

(3)、当 $A B = 6$ ， $s i n ∠ D C A = \frac{\sqrt{3}}{3}$ 时，求 $A M$ 的长．

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30.

(1)、如图①，在矩形 $A B C D$ 的 $A B$ 边上取一点 $E$ ，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 翻折，使点 $A$ 落在 $B C$ 上 $A^{'}$ 处，若 $A B = 6 ， B C = 10$ ，求 $\frac{A E}{E B}$ 的值；

(2)、如图②，在矩形 $A B C D$ 的 $B C$ 边上取一点 $E$ ，将四边形 $A B E D$ 沿 $D E$ 翻折，使点 $B$ 落在 $D C$ 的延长线上 $B^{'}$ 处，若 $B C \cdot C E = 24 ， A B = 6$ ，求 $B E$ 的值；

(3)、如图③，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 45 ° ， A D ⊥ B C$ ，垂足为点 $D ， A D = 10 ， A E = 6$ ，过点 $E$ 作 $E F ⊥ A D$ 交 $A C$ 于点 $F$ ，连接 $D F$ ，且满足 $∠ D F E = 2 ∠ D A C$ ，直接写出 $B D + \frac{5}{3} E F$ 的值．

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