2023年四川省中考数学真题分类汇编：二次函数

试卷更新日期：2023-07-30 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a$ ， $b$ ， $c$ 是常数且 $a < 0$ ）过 $(- 1 ， 0)$ 和 $(m ， 0)$ 两点，且 $3 < m < 4$ ，下列四个结论： $① a b c > 0$ ； $② 3 a + c > 0$ ； $③$ 若抛物线过点 $(1 ， 4)$ ，则 $- 1 < a < - \frac{2}{3}$ ； $④$ 关于 $x$ 的方程 $a (x + 1) (x - m) = 3$ 有实数根，则其中正确的结论有（　　）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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2. 如图所示，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a 、 b 、 c$ 为常数， $a \neq 0)$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $A (- 3 ， 0) ， B (1 ， 0)$ ．有下列结论：① $a b c > 0$ ；②若点 $(- 2 ， y_{1})$ 和 $(- 0.5 ， y_{2})$ 均在抛物线上，则 $y_{1} < y_{2}$ ；③ $5 a - b + c = 0$ ；④ $4 a + c > 0$ ．其中正确的有（　　）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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3. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象与x轴的一个交点坐标为 $(1 ， 0)$ ，对称轴为直线 $x = - 1$ ，下列四个结论：① $a b c < 0$ ；② $4 a - 2 b + c < 0$ ；③ $3 a + c = 0$ ；④当 $- 3 < x < 1$ 时， $a x^{2} + b x + c < 0$ ；其中正确结论的个数为（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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4. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 经过点 $A (- 1 ， 0) 、 B (m ， 0)$ ，且 $1 < m < 2$ ，有下列结论：① $b < 0$ ；② $a + b > 0$ ；③ $0 < a < - c$ ；④若点 $C (- \frac{2}{3} ， y_{1}) ， D (\frac{5}{3} ， y_{2})$ 在抛物线上，则 $y_{1} > y_{2}$ ．其中，正确的结论有（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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5. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + x - 6$ 的图象与x轴交于 $A (- 3 ， 0)$ ， B两点，下列说法正确的是（）

A、抛物线的对称轴为直线 $x = 1$ B、抛物线的顶点坐标为 $(- \frac{1}{2} ， - 6)$ C、A，B两点之间的距离为5 D、当 $x < - 1$ 时，y的值随x值的增大而增大

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6. 已知二次函数 $y = a x^{2} - 2 a x + 3$ （其中 $x$ 是自变量），当 $0 < x < 3$ 时对应的函数值 $y$ 均为正数，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $0 < a < 1$ B、 $a < - 1$ 或 $a > 3$ C、 $- 3 < a < 0$ 或 $0 < a < 3$ D、 $- 1 < a < 0$ 或 $0 < a < 3$

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7. 经过 $A (2 - 3 b ， m) ， B (4 b + c - 1 ， m)$ 两点的抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x - b^{2} + 2 c$ （ $x$ 为自变量）与 $x$ 轴有交点，则线段 $A B$ 长为（）

A、10 B、12 C、13 D、15

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8. 抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，对称轴为直线 $x = - 2$ ．下列说法：① $a b c < 0$ ；② $c - 3 a > 0$ ；③ $4 a^{2} - 2 a b ≥ a t (a t + b)$ （t为全体实数）；④若图象上存在点 $A (x_{1} ， y_{1})$ 和点 $B (x_{2} ， y_{2})$ ，当 $m < x_{1} < x_{2} < m + 3$ 时，满足 $y_{1} = y_{2}$ ，则m的取值范围为 $- 5 < m < - 2$ ．其中正确的个数有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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9. 如图，拋物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a ， b ， c$ 为常数）关于直线 $x = 1$ 对称．下列五个结论：① $a b c > 0$ ；② $2 a + b = 0$ ；③ $4 a + 2 b + c > 0$ ；④ $a m^{2} + b m > a + b$ ；⑤ $3 a + c > 0$ ．其中正确的有（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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10. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（）

A、 $a b c < 0$ B、 $4 a - 2 b + c < 0$ C、 $3 a + c = 0$ D、 $a m^{2} + b m + a \leq 0$ （ $m$ 为实数）

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二、填空题

11. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 经过点 $A (- 3 ， 0)$ ，顶点为 $M (- 1 ， m)$ ，且抛物线与 $y$ 轴的交点B在 $(0 ， - 2)$ 和 $(0 ， - 3)$ 之间（不含端点），则下列结论：

①当 $- 3 \leq x \leq 1$ 时， $y \leq 1$ ；

②当 $△ A B M$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ 时， $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ；

③当 $△ A B M$ 为直角三角形时，在 $△ A O B$ 内存在唯一点P，使得 $P A + P O + P B$ 的值最小，最小值的平方为 $18 + 9 \sqrt{3}$ ．

其中正确的结论是．（填写所有正确结论的序号）

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三、解答题

12. 如图，抛物线 $y = - \frac{4}{3} x^{2} + b x + 4$ 与x轴交于 $A (- 3 ， 0)$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、求抛物线解析式及 $B$ ， $C$ 两点坐标；

(2)、以 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 为顶点的四边形是平行四边形，求点 $D$ 坐标；

(3)、该抛物线对称轴上是否存在点 $E$ ，使得 $∠ A C E = 45 °$ ，若存在，求出点 $E$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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四、综合题

13. 如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + 4$ 的图象与x轴交于点 $A (- 2 ， 0)$ ， $B (4 ， 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、已知 $E$ 为抛物线上一点， $F$ 为抛物线对称轴 $l$ 上一点，以 $B$ ， $E$ ， $F$ 为顶点的三角形是等腰直角三角形，且 $∠ B F E = 90 °$ ，求出点 $F$ 的坐标；

(3)、如图 $2$ ， $P$ 为第一象限内抛物线上一点，连接 $A P$ 交 $y$ 轴于点 $M$ ，连接 $B P$ 并延长交 $y$ 轴于点 $N$ ，在点 $P$ 运动过程中， $O M + \frac{1}{2} O N$ 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

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14. 在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与x轴交于点 $A (- 3 ， 0) ， B (1 ， 0)$ 两点，与y轴交于点 $C (0 ， 3)$ ，点P是抛物线上的一个动点．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、当点P在直线 $A C$ 上方的抛物线上时，连接 $B P$ 交 $A C$ 于点D．如图1．当 $\frac{P D}{D B}$ 的值最大时，求点P的坐标及 $\frac{P D}{D B}$ 的最大值；

(3)、过点P作x轴的垂线交直线 $A C$ 于点M，连接 $P C$ ，将 $△ P C M$ 沿直线 $P C$ 翻折，当点M的对应点 $M'$ 恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标．

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15. 在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点，抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2} + b x + c$ 经过点 $O (0$ ， $0)$ ，对称轴过点 $B (2$ ， $0)$ ，直线 $l$ 过点 $C (2 ， - 2)$ ，且垂直于 $y$ 轴．过点 $B$ 的直线 $l_{1}$ 交抛物线于点 $M$ 、 $N$ ，交直线 $l$ 于点 $Q$ ，其中点 $M$ 、Q在抛物线对称轴的左侧．
(1)求抛物线的解析式；

(1)、如图1，当 $B M ： M Q = 3 ： 5$ 时，求点 $N$ 的坐标；

(2)、如图2，当点 $Q$ 恰好在 $y$ 轴上时， $P$ 为直线 $l_{1}$ 下方的抛物线上一动点，连接 $P Q$ 、 $P O$ ，其中 $P O$ 交 $l_{1}$ 于点 $E$ ，设 $△ O Q E$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ P Q E$ 的面积为 $S_{2}$ ．求 $\frac{S_{2}}{S_{1}}$ 的最大值．

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16. 已知 $(x_{1} ， y_{1}) ， (x_{2} ， y_{2})$ 是抛物 $C_{1} ： y = - \frac{1}{4} x^{2} + b x$ （b为常数）上的两点，当 $x_{1} + x_{2} = 0$ 时，总有 $y_{1} = y_{2}$

(1)、求b的值；

(2)、将抛物线 $C_{1}$ 平移后得到抛物线 $C_{2} ： y = - \frac{1}{4} (x - m)^{2} + 1 (m > 0)$ ．
探究下列问题：

①若抛物线 $C_{1}$ 与抛物线 $C_{2}$ 有一个交点，求m的取值范围；

②设抛物线C₂与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线 $C_{2}$ 的顶点为点E， $△ A B C$ 外接圆的圆心为点F，如果对抛物线 $C_{1}$ 上的任意一点P，在抛物线 $C_{2}$ 上总存在一点Q，使得点P、Q的纵坐标相等．求EF长的取值范围．

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17. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与x轴交于点 $A (- 4 ， 0)$ 、 $B (2 ， 0)$ ，且经过点 $C (- 2 ， 6)$ ．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、在x轴上方的抛物线上任取一点N，射线 $A N$ 、 $B N$ 分别与抛物线的对称轴交于点P、Q，点Q关于x轴的对称点为 $Q^{'}$ ，求 $△ A P Q^{'}$ 的面积；

(3)、点M是y轴上一动点，当 $∠ A M C$ 最大时，求M的坐标．

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18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 $y = a x^{2} + c$ 经过点 $P (4 ， - 3)$ ，与y轴交于点 $A (0 ， 1)$ ，直线 $y = k x (k \neq 0)$ 与抛物线交于B，C两点.

(1)、求抛物线的函数表达式；

(2)、若 $△ A B P$ 是以AB为腰的等腰三角形，求点B的坐标；

(3)、过点 $M (0 ， m)$ 作y轴的垂线，交直线AB于点D，交直线AC于点E. 试探究：是否存在常数m，使得 $O D ⊥ O E$ 始终成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.

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19. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 过点 $A (- 1 ， 0) ， B (3 ， 0) ， C (0 ， 3)$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、设点 $P$ 是直线 $B C$ 上方抛物线上一点，求出 $△ P B C$ 的最大面积及此时点 $P$ 的坐标；

(3)、若点 $M$ 是抛物线对称轴上一动点，点 $N$ 为坐标平面内一点，是否存在以 $B C$ 为边，点 $B 、 C 、 M 、 N$ 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点 $N$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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20. 如图，已知抛物线与 $x$ 轴交于 $A (1 ， 0)$ 和 $B (- 5 ， 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．直线 $y = - 3 x + 3$ 过抛物线的顶点 $P$ ．

(1)、求抛物线的函数解析式；

(2)、若直线 $x = m (- 5 < m < 0)$ 与抛物线交于点 $E$ ，与直线 $B C$ 交于点 $F$ ．
①当 $E F$ 取得最大值时，求 $m$ 的值和 $E F$ 的最大值；

②当 $△ E F C$ 是等腰三角形时，求点 $E$ 的坐标．

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21. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知抛物线 $y = a x^{2} + 2 x + c$ 与坐标轴分别相交于点A，B， $C (0 ， 6)$ 三点，其对称轴为 $x = 2$ ．

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、点 $F$ 是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线 $A F$ 分别与 $y$ 轴，直线 $B C$ 交于点 $D$ ， $E$ ．
①当 $C D = C E$ 时，求 $C D$ 的长；
②若 $△ C A D$ ， $△ C D E$ ， $△ C E F$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ，且满足 $S_{1} + S_{3} = 2 S_{2}$ ，求点 $F$ 的坐标．

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