2023年四川省中考数学真题分类汇编：反比例函数

试卷更新日期：2023-07-30 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点A、B分别在y，x轴上， $B C ⊥ x$ 轴．点M、N分别在线段 $B C$ 、 $A C$ 上， $B M = C M$ ， $N C = 2 A N$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象经过M、N两点，P为x正半轴上一点，且 $O P ： B P = 1 ： 4$ ， $△ A P N$ 的面积为3，则k的值为（　　）

A、 $\frac{45}{4}$ B、 $\frac{45}{8}$ C、 $\frac{144}{25}$ D、 $\frac{72}{25}$

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二、填空题

2. 若点 $A (- 3 ， y_{1})$ ， $B (- 1 ， y_{2})$ 都在反比例函数 $y = \frac{6}{x}$ 的图象上，则 $y_{1}$ $y_{2}$ （填“>”或“<”）.

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3. 如图，一次函数 $y = 2 x$ 与反比例函数 $y = \frac{2}{x}$ 的图象相交于 $A 、 B$ 两点，以 $A B$ 为边作等边三角形 $A B C$ ，若反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象过点 $C$ ，则 $k$ 的值为．

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4. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点， $M N$ 垂直于x轴，以 $M N$ 为对称轴作 $△ O D E$ 的轴对称图形，对称轴 $M N$ 与线段 $D E$ 相交于点F，点D的对应点B恰好落在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x < 0)$ 的图象上，点O、E的对应点分别是点C、A．若点A为 $O E$ 的中点，且 $S_{△ E A F} = \frac{1}{4}$ ，则k的值为．

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三、综合题

5. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = k x + b$ 与x轴交于点 $A (4 ， 0)$ ，与y轴交于点 $B (0 ， 2)$ ，与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 在第四象限内的图象交于点 $C (6 ， a)$ ．

(1)、求反比例函数的表达式：

(2)、当 $k x + b > \frac{m}{x}$ 时，直接写出x的取值范围；

(3)、在双曲线 $y = \frac{m}{x}$ 上是否存在点P，使 $△ A B P$ 是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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6. 如图，点 $A (2 ， 4)$ 在反比例函数 $y_{1} = \frac{m}{x}$ 图象上．一次函数 $y_{2} = k x + b$ 的图象经过点A，分别交x轴，y轴于点B，C，且 $△ O A C$ 与 $△ O B C$ 的面积比为 $2 ： 1$ ．

(1)、求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)、请直接写出 $y_{1} \geq y_{2}$ 时，x的取值范围．

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7. 如图，一次函数 $y = k x + b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{4}{x}$ 的图象交于点 $A (m ， 4)$ ，与x轴交于点B，与y轴交于点 $C (0 ， 3)$ ．

(1)、求m的值和一次函数的表达式；

(2)、已知P为反比例函数 $y = \frac{4}{x}$ 图象上的一点， $S_{△ O B P} = 2 S_{△ O A C}$ ，求点P的坐标．

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8. 如图，一次函数 $y = k_{1} x + b$ 的图像与反比例函数 $y = \frac{k_{2}}{x}$ 的图像交于 $A (- 4 ， 1)$ ， $B (m ， 4)$ 两点．（ $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， $b$ 为常数）

(1)、求一次函数和反比例函数的解析式；

(2)、根据图像直接写出不等式 $k_{1} x + b > \frac{k_{2}}{x}$ 的解集；

(3)、 $P$ 为 $y$ 轴上一点，若 $△ P A B$ 的面积为 $3$ ，求 $P$ 点的坐标．

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9. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，等腰直角三角形 $A B C$ 的直角顶点 $C (3 ， 0)$ ，顶点A、 $B (6 ， m)$ 恰好落在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 第一象限的图象上．

(1)、分别求反比例函数的表达式和直线 $A B$ 所对应的一次函数的表达式；

(2)、在x轴上是否存在一点P，使 $△ A B P$ 周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．

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10. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线 $y = - x + 5$ 与y轴交于点A，与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象的一个交点为 $B (a ， 4)$ ，过点B作AB的垂线l.

(1)、求点A的坐标及反比例函数的表达式；

(2)、若点C在直线l上，且 $△ A B C$ 的面积为5，求点C的坐标；

(3)、P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画 $△ P D E$ ，使它与 $△ P A B$ 位似，相似比为m.若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值.

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11. 阅读理解题：
阅读材料：

如图1，四边形 $A B C D$ 是矩形， $△ A E F$ 是等腰直角三角形，记 $∠ B A E$ 为 $α$ 、 $∠ F A D$ 为 $β$ ，若 $t a n α = \frac{1}{2}$ ，则 $t a n β = \frac{1}{3}$ ．

证明：设 $B E = k$ ， ∵ $t a n α = \frac{1}{2}$ ， ∴ $A B = 2 k$ ，

易证 $△ A E B ≌ △ E F C (A A S)$

∴ $E C = 2 k ， C F = k$ ，

∴ $F D = k ， A D = 3 k$

∴ $t a n β = \frac{D F}{A D} = \frac{k}{3 k} = \frac{1}{3}$ ，

若 $α + β = 45 °$ 时，当 $t a n α = \frac{1}{2}$ ，则 $t a n β = \frac{1}{3}$ ．

同理：若 $α + β = 45 °$ 时，当 $t a n α = \frac{1}{3}$ ，则 $t a n β = \frac{1}{2}$ ．

根据上述材料，完成下列问题：

如图2，直线 $y = 3 x - 9$ 与反比例函数 $y = \frac{m}{x} (x > 0)$ 的图象交于点 $A$ ，与 $x$ 轴交于点 $B$ ．将直线 $A B$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $45 °$ 后的直线与 $y$ 轴交于点 $E$ ，过点 $A$ 作 $A M ⊥ x$ 轴于点 $M$ ，过点 $A$ 作 $A N ⊥ y$ 轴于点 $N$ ，已知 $O A = 5$ ．

(1)、求反比例函数的解析式；

(2)、直接写出 $t a n ∠ B A M 、 t a n ∠ N A E$ 的值；

(3)、求直线 $A E$ 的解析式．

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12. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l ： y = k x + 2$ 与 $x$ ， $y$ 轴分别相交于点A，B，与反比例函数 $y = \frac{m}{x} (x > 0)$ 的图象相交于点C，已知 $O A = 1$ ，点C的横坐标为2．

(1)、求 $k$ ， $m$ 的值；

(2)、平行于 $y$ 轴的动直线与 $l$ 和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐标．

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