2023年四川省中考数学真题分类汇编：无理数与实数、代数式

试卷更新日期：2023-07-30 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 下列各数中，为有理数的是（）

A、 $\sqrt[3]{8}$ B、 $3.232232223 \cdot \cdot \cdot$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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2. 如图，数轴上点A表示的数是2023， $O A = O B$ ，则点B表示的数是（）

A、2023 B、 $- 2023$ C、 $\frac{1}{2023}$ D、 $- \frac{1}{2023}$

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3. 已知算式 $5$ □ $(- 5)$ 的值为 $0$ ，则“□”内应填入的运算符号为（）

A、＋ B、－ C、× D、÷

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4. 如图，四边形 $A B C D$ 是边长为 $\frac{1}{2}$ 的正方形，曲线 $D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} A_{2} ⋯$ 是由多段 $90 °$ 的圆心角的圆心为 $C$ ，半径为 $C B_{1}$ ； $\overset{⌢}{C_{1} D_{1}}$ 的圆心为 $D$ ，半径为 $D C_{1} ⋯ ， \overset{⌢}{D A_{1}} 、 \overset{⌢}{A_{1} B_{1}} 、 \overset{⌢}{B_{1} C_{1}} 、 \overset{⌢}{C_{1} D_{1}} ⋯$ 的圆心依次为 $A 、 B 、 C 、 D$ 循环，则 $\overset{⏜}{A_{2023} B_{2023}}$ 的长是（）

A、 $\frac{4045 π}{2}$ B、 $2023 π$ C、 $\frac{2023 π}{4}$ D、 $2022 π$

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5. 对于正数x，规定 $f (x) = \frac{2 x}{x + 1}$ ，例如： $f (2) = \frac{2 \times 2}{2 + 1} = \frac{4}{3}$ ， $f (\frac{1}{2}) = \frac{2 \times \frac{1}{2}}{\frac{1}{2} + 1} = \frac{2}{3}$ ， $f (3) = \frac{2 \times 3}{3 + 1} = \frac{3}{2}$ ， $f (\frac{1}{3}) = \frac{2 \times \frac{1}{3}}{\frac{1}{3} + 1} = \frac{1}{2}$ ，计算： $f (\frac{1}{101}) + f (\frac{1}{100}) + f (\frac{1}{99}) + ⋯ + f (\frac{1}{3}) + f (\frac{1}{2}) + f (1) +$ $f (2) + f (3) + ⋯ + f (99) + f (100) + f (101) =$ （　　）

A、199 B、200 C、201 D、202

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二、填空题

6. 定义一种新运算：对于两个非零实数 $a 、 b$ ， $a ※ b = \frac{x}{a} + \frac{y}{b}$ ．若 $2 ※ (- 2) = 1$ ，则 $(- 3) ※ 3$ 的值是．

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7. 已知 $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ ，则 $3 x^{3} - 10 x^{2} + 5 x + 2027$ 的值等于．

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8. 计算 $(π - 3.14)^{0} + \sqrt{{(\sqrt{2} - 1)}^{2}} =$ ．

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9. 请写出一个比 $\sqrt{23}$ 小的整数．

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10. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（当碳原子数目超过 $10$ 个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为 $C H_{4}$ ，乙烷的化学式为 $C_{2} H_{6}$ ，丙烷的化学式为 $C_{3} H_{8}$ ……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为．

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11. 在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”，根据规律第八行从左到右第三个数为．

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12. 在平面直角坐标系中，点 $A_{1} 、 A_{2} 、 A_{3} 、 A_{4} ⋯$ 在 $x$ 轴的正半轴上，点 $B_{1} 、 B_{2} 、 B_{3} ⋯$ 在直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x (x \geq 0)$ 上，若点 $A_{1}$ 的坐标为 $(2 ， 0)$ ，且 $△ A_{1} B_{1} A_{2} 、 △ A_{2} B_{2} A_{3} 、 △ A_{3} B_{3} A_{4} ⋯$ 均为等边三角形．则点 $B_{2023}$ 的纵坐标为．

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13. 定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且 $m - n > 1$ ，则称这个正整数为“智慧优数”.例如， $16 = 5^{2} - 3^{2}$ ， 16就是一个智慧优数，可以利用 $m^{2} - n^{2} = (m + n) (m - n)$ 进行研究.若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是；第23个智慧优数是.

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三、计算题

14. 计算： $3^{- 1} + {(\sqrt{2} - 1)}^{0} + 2 s i n 30 ° - (- \frac{2}{3})$ ．

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15. 计算： $\frac{\sqrt{18}}{3} + | \sqrt{2} - 2 | + 202 3^{0} - {(- 1)}^{1}$ ．

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16.

(1)、计算： $\sqrt{4} + 2 s i n 45 ° - {(π - 3)}^{0} + | \sqrt{2} - 2 |$ ；

(2)、解不等式组： ${\begin{cases} 2 (x + 2) - x \leq 5 ， ① \\ \frac{4 x + 1}{3} > x - 1 . ② \end{cases}$

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四、综合题

17. 我们规定：对于任意实数a、b、c、d有 $[a ， b] * [c ， d] = a c - b d$ ，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如： $[3 ， 2] * [5 ， 1] = 3 \times 5 - 2 \times 1 = 13$ ．

(1)、求 $[- 4 ， 3] * [2 ， - 6]$ 的值；

(2)、已知关于x的方程 $[x ， 2 x - 1] * [m x + 1 ， m] = 0$ 有两个实数根，求m的取值范围．

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