2023-2024学年初中数学九年级上册 24.7 向量的线性运算同步分层训练培优卷(沪教版五四制)

试卷更新日期：2023-07-29 类型：同步测试

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一、选择题

1. 规定：在平面直角坐标系xOy中，如果点P的坐标为（m，n），向量 $\vec{O P}$ 可以用点P的坐标表示为： $\vec{O P}$ ＝（m，n）．已知 $\vec{O A}$ ＝（x₁ ， y₁）， $\vec{O B}$ ＝（x₂ ， y₂），如果x₁x₂+y₁y₂＝0，那么 $\vec{O A}$ 与 $\vec{O B}$ 互相垂直．下列四组向量中，互相垂直的是（　　）

A、 $\vec{O C} = (4, - 3)$ ， $\vec{O D} = (- 3, 4)$ B、 $\vec{O E} = (- 2, 3)$ ， $\vec{O F} = (3, 2)$ C、 $\vec{O G} = (\sqrt{3}, 1)$ , $\vec{O H} = (- \sqrt{3}, 1)$ D、 $\vec{O M} = (2 \sqrt{2}, 2)$ ， $\vec{O N} = (- 2 \sqrt{2}, 2)$

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2. 已知：点C在线段AB上，且AC = 2BC，那么下列等式一定正确的是（）

A、 $\overset{⇀}{A C} + 2 \overset{⇀}{B C} = \frac{4}{3} \overset{⇀}{A B}$ B、 $\overset{⇀}{A C} - 2 \overset{⇀}{B C} = \overset{⇀}{0}$ C、 $| \overset{⇀}{A C} + \overset{⇀}{B C} | = | \overset{⇀}{B C} |$ D、 $| \overset{⇀}{A C} - \overset{⇀}{B C} | = | \overset{⇀}{B C} |$

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3. 如果点C是线段AB的中点，那么下列结论中正确的是（）

A、 $\vec{A C} + \vec{B C} = 0$ B、 $\vec{A C} - \vec{B C} = 0$ C、 $\vec{A C} + \vec{B C} = \vec{0}$ D、 $\vec{A C} - \vec{B C} = \vec{0}$

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4. 在梯形ABCD中，AD∥BC，点E，F分别是边AB，CD的中点，AD= $\frac{1}{2}$ BC， $\vec{B C}$ = $\vec{a}$ ，那么 $\vec{E F}$ 等于（）

A、 $\frac{3}{2} \vec{a}$ B、 $- \frac{3}{2} \vec{a}$ C、 $\frac{3}{4} \vec{a}$ D、 $- \frac{3}{4} \vec{a}$

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5.
如图，在△ABC中，D是边BC的中点， $\vec{B A}$ = $\vec{a}$ ， $\vec{B C}$ = $\vec{b}$ ，那么 $\vec{D A}$ 等于（　　）

A、 $\frac{1}{2}$ $\vec{a}$ - $\vec{b}$ B、 $\vec{b}$ - $\frac{1}{2}$ $\vec{a}$ C、 $\frac{1}{2}$ $\vec{b}$ - $\vec{a}$ D、 $\vec{a}$ - $\frac{1}{2}$ $\vec{b}$

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6. 已知M是△ABC内的一点，且 $\vec{A B}$ • $\vec{A C}$ =2 $\sqrt{3}$ ， ∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为 $\frac{1}{2}$ ， x，y，则 $\frac{1}{x}$ + $\frac{4}{y}$ 的最小值是（　　）

A、20 B、18 C、16 D、9

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7. 已知 $\vec{m}$ =3 $\vec{a}$ ﹣ $\frac{2}{3}$ $\vec{b}$ ， $\vec{n}$ = $\frac{1}{2}$ $\vec{b}$ + $\frac{1}{4}$ $\vec{a}$ ，那么 $\vec{m}$ ﹣4 $\vec{n}$ 等于（　　）

A、2 $\vec{a}$ - $\frac{8}{3}$ $\vec{b}$ B、4 $\vec{a}$ - $\frac{4}{3}$ $\vec{b}$ C、2 $\vec{a}$ - $\frac{4}{3}$ $\vec{b}$ D、4 $\vec{a}$ - $\frac{8}{3}$ $\vec{b}$

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8. 在△ABC中，AB=2，AC=3， $\vec{A B}$ • $\vec{B C}$ =1，则BC=（　　）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{7}$ C、2 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{23}$

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二、填空题

9. 已知梯形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $B C = 2 A D$ ，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ，那么 $\vec{D C}$ 可用 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 表示为．

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10. 如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，BC=2AD，如果 $\overset{⇀}{A D} = \overset{⇀}{a}$ ， $\vec{A B} = \vec{b}$ ，那么 $\vec{A C}$ =（用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示）．

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11. 在 $△ A B C$ 中，点D是 $A C$ 的中点， $\vec{A B} = \vec{π}$ ， $\vec{B C} = \vec{n}$ ，那么 $\vec{B D} =$ ．（用 $\vec{π}$ 、 $\vec{n}$ 表示）．

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12. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC ， EF是梯形ABCD的中位线，AH∥CD分别交EF、BC于点G、H ，若 $\overset{⇀}{A D}$ ＝ $\overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{B C}$ ＝ $\overset{⇀}{b}$ ，则用 $\overset{⇀}{a}$ 、 $\overset{⇀}{b}$ 表示 $\overset{⇀}{E G}$ ＝．

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三、解答题

13. 如图，已知平行四边形ABCD，点M、N分别是边DC、BC的中点，设 $\overset{⇀}{A B} = \overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{A D} = \overset{⇀}{b}$ ，求向量 $\overset{⇀}{M N}$ 关于 $\overset{⇀}{a}$ 、 $\overset{⇀}{b}$ 的分解式．

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四、作图题

14. 如图，已知向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ ，求作向量 $\vec{x}$ ，满足 $\frac{1}{2} (2 \vec{x} - 2 \vec{a} + \vec{b}) = \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b}$ ．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写出结论）

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五、综合题

15. 如图，在 $△ A B C$ 中，点D在边 $B C$ 上， $B D = A B = \frac{1}{2} B C$ ， E是 $B D$ 的中点．

(1)、求证： $∠ B A E = ∠ C$ ；

(2)、设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ，用向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 表示向量 $\vec{A C}$ ．

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2023-2024学年初中数学九年级上册 24.7 向量的线性运算 同步分层训练培优卷(沪教版五四制)

一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、作图题

五、综合题

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