2023-2024学年初中数学九年级上册 26.3 二次函数y = ax²+bx+c的图像同步分层训练培优卷(沪教版五四制)

试卷更新日期：2023-07-29 类型：同步测试

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一、选择题

1. 设二次函数y＝x²-kx+2k（k为实数）的图象过点（1，y₁），（2，y₂），（3，y₃），（4，y₄），设y₁-y₂＝a，y₃-y₄＝b，（）

A、若ab＜0，且a+b＜0，则k＜7 B、若ab＜0，且a+b＞0，则k＜5 C、若ab＞0，且a+b＜0，则k＞3 D、若ab＞0，且a+b＞0，则k＞7

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2. 在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于x轴对称，且他们的顶点相距6个单位长度，若其中一条抛物线的解析式为 $y = - x^{2} + 4 x + 3 m$ ，则m的值是（）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $- \frac{7}{3}$ C、 $- \frac{1}{2}$ 或 $- \frac{7}{2}$ D、 $- \frac{1}{3}$ 或 $- \frac{7}{3}$

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3. 函数 $y = \frac{k}{x}$ 与 $y = k x^{2} - k (k \neq 0)$ 在同一直角坐标系中的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 下列抛物线中，与抛物线 $y = x^{2} - 2 x + 8$ 具有相同对称轴的是（）

A、 $y = 4 x^{2} + 2 x + 4$ B、 $y = x^{2} - 4 x$ C、 $y = 2 x^{2} - x + 4$ D、 $y = - 2 x^{2} + 4 x$

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5. 已知，二次函数 $y = a x^{2} + (2 a - 1) x + 1$ 的对称轴为y轴，将此函数向下平移3个单位，若点M为二次函数图象在（ $- 1 \leq x \leq 1$ ）部分上任意一点，O为坐标原点，连接 $O M$ ，则 $O M$ 长度的最小值是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{17}}{2}$

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6. 如图，直线y=kx+b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（﹣4，0）、B（0，3），抛物线y=﹣x²+2x+1与y轴交于点C，点E在抛物线y=﹣x²+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，CE+EF的最小值是（）

A、1.4 B、2.5 C、2.8 D、3

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7. 如图，平面直角坐标系中，已知 $A (1 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ ， $C (6 ， 0)$ ，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 过点 $A$ 、 $B$ ，顶点为 $P$ ，抛物线 $y = e x^{2} + f x + g$ 过点 $A$ ， $C$ ，顶点为 $Q$ ，若点 $P$ 在线段 $A Q$ 上，则 $a$ ： $e$ 的值为（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{5}{3}$

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8. 如图所示，已知二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C对称轴为直线x=1.直线y=﹣x+c与抛物线y=ax²+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：
①2a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③x（ax+b）≤a+b；④a＜﹣1.

其中正确的有（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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二、填空题

9. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - x^{2}$ 经过平移得到抛物线 $y = - x^{2} - 4 x$ ，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为 .

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10. 写出一个函数使其图像与反比例函数 $y = \frac{2}{x}$ 的图象有3个不同的交点．

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11. 二次函数 $y = a x^{2} + b x - 3 (a \neq 0)$ 的图象经过点 $(1 ， - 2)$ ，则代数式 $a + b$ 的值为.

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12. 已知函数 $y = b$ 的图象与函数 $y = x^{2} - 3 | x - 1 | - 4 x - 3$ 的图象恰好有四个交点，则 $b$ 的取值范围是.

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13. 如图，已知抛物线y＝ax²+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）两点．

(1)、抛物线的解析式为；

(2)、若点D、N均在此抛物线上，其中点D坐标为（2，﹣2），点N满足∠NBO＝∠ABO ， P为平面上一点，则所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标有（点P、O、D分别与点N、O、B对应）．

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三、解答题

14. 在等式 $y = a x^{2} + b x + c$ 中，当 $x = 0$ 时， $y = 6$ ；当 $x = 1$ 时， $y = 5$ ； $x = 2$ 时， $y = 5$ .求 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的值.

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15. 求下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： $y = 2 x^{2} + 12 x + 21$ .

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四、综合题

16. 如图，在平而直角坐标系中，二次函数 $y = - \sqrt{3} x^{2} + 2 \sqrt{3} x$ 的图象与 $x$ 轴分别交于点 $O ， A$ ，顶点为 $B$ ．连接 $O B ， A B$ ，将线段 $A B$ 绕点 $A$ 按顺时针方向旋转 $60 °$ 得到线段 $A C$ ，连接 $B C$ ．点 $D ， E$ 分别在线段 $O B ， B C$ 上，连接 $A D ， D E ， E A ， D E$ 与 $A B$ 交于点 $F ， ∠ D E A = 60 °$ ．

(1)、求点 $A ， B$ 的坐标；

(2)、随着点 $E$ 线段 $B C$ 上运动．
① $∠ E D A$ 的大小是否发生变化？请说明理由；

②线段 $B F$ 的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；

(3)、当线段 $D E$ 的中点在该二次函数的因象的对称轴上时， $△ B D E$ 的面积为．

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17. 如图

(1)、【特例感知】如图23-1，对于抛物线 $y_{1} = - x^{2} - x + 1 ， y_{2} = - x^{2} - 2 x + 1 ， y_{3} = - x^{2} - 3 x + 1$ ，下列结论正确的序号是
①抛物线 $y_{1} ， y_{2} ， y_{3}$ 都经过点 $C (0 ， 1)$ ；

②抛物线 $y_{2} ， y_{3}$ 的对称轴由拋物线 $y_{1}$ 的对称轴依次向左平移 $\frac{1}{2}$ 个单位得到；

③抛物线 $y_{1} ， y_{2} ， y_{3}$ 与直线 $y = 1$ 的交点中，相邻两点之间的距离相等.

(2)、
【形成概念】把满足 $y_{n} = - x^{2} - n x + 1$ ( $n$ 为正整数)的抛物线称为“系列平移抛物线”.
【知识应用】在(2)中，如图 $23 - 2$ .
①“系列平移抛物线”的顶点依次为 $P_{1} ， P_{2} ， P_{3} ， ⋯ ， P_{n}$ ，用含n的代数式表示顶点P_n的坐标，并写出该顶点纵坐标y与横坐标x之间的关系式；

②“系列平移拔物线”存在“系列整数点(横、纵坐标均为整数的点)”： $C_{1}$ ， $C_{2} ， C_{3} ， ⋯ ， C_{n}$ ，其横坐标分别为： $- k - 1 ， - k - 2 ， - k - 3 ， ⋯ ， - k - n (k$ 为正整数)，判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，请求出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由.

③在②中，直线 $y = 1$ 分别交“系列平移抛物线”于点 $A_{1} ， A_{2} ， A_{3} ⋯ A_{n}$ ，连接 $C_{n} A_{n} ， C_{n - 1} A_{n - 1}$ ，判断直线 $C_{n} A_{n} ， C_{n - 1} A_{n - 1}$ 是否平行?请直接写出判断结果.

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二、填空题

三、解答题

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