2023-2024学年初中数学九年级上册 25.4 解直角三角形的应用同步分层训练基础卷(沪教版五四制)

试卷更新日期：2023-07-29 类型：同步测试

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一、选择题

1. 爬坡时坡角与水平面夹角为α，则每爬1m耗能 $(1.025 - c o s α) J$ ，若某人爬了1000m，该坡角为30°，则他耗能（）.（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.732$ ， $\sqrt{2} \approx 1.414$ ）

A、58J B、159J C、1025J D、1732J

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2. 松华坝水库地处昆明北郊，是昆明市的重要水源，被称为“昆明头上的一碗水”，水库周边遍布森林与湿地，呈现出一幅纯净自然的和谐生态画卷．如图，大坝某段横截面迎水坡 $A B$ 的坡度 $i = 1 ： 2$ （ $坡度 i = \frac{铅直高度 B C}{水平宽度 A C}$ ），若坝高 $B C = 30 m$ ，则坡面 $A B$ 的水平宽度长度约为（）（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ， $\sqrt{5} \approx 2.24$ ）

A、 $52 m$ B、 $60 m$ C、 $67 m$ D、 $90 m$

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3. 图1是一种落地晾衣架，晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示， $A B$ 和 $C D$ 分别是两根不同长度的支撑杆，其中两支脚 $O D = O B = 50 c m$ ，展开角 $∠ B O D = 7 0^{°}$ ，晾衣臂 $A O = 80 c m$ ，则支樟杆的端点 $A$ 离地面的高度 $A E$ 为（）

A、 $130 t a n 5 5^{°} c m$ B、 $130 s i n 5 5^{°} c m$ C、 $\frac{130}{t a n 5 5^{°}} c m$ D、 $\frac{130}{s i n 5 5^{°}} c m$

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4. 如图，在天定山滑雪场滑雪，需从山脚下 $A$ 处乘缆车上山顶 $B$ 处，缆车索道与水平线所成的 $∠ B A C = α$ ，若山的高度 $B C = 800$ 米，则缆车索道 $A B$ 的长为（）

A、 $800 s i n α$ 米 B、 $800 c o s α$ 米 C、 $\frac{800}{s i n α}$ 米 D、 $\frac{800}{c o s α}$ 米

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5. 学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳 $A B$ 到地面，如图所示．已彩旗绳与地面形成 $25 °$ 角（即 $∠ B A C = 25 °$ ）、彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米（即 $A C = 32$ 米），则彩旗绳 $A B$ 的长度为（）

A、 $32 s i n 25 °$ 米 B、 $32 c o s 25 °$ 米 C、 $\frac{32}{s i n 25 °}$ 米 D、 $\frac{32}{c o s 25 °}$ 米

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6. 日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一，主要为日照近海及进出日照港的船舶提供导航服务．数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点B处测得灯塔最高点A的仰角 $∠ A B D = 45 °$ ，再沿 $B D$ 方向前进至C处测得最高点A的仰角 $∠ A C D = 60 °$ ， $B C = 15.3 m$ ，则灯塔的高度 $A D$ 大约是（）（结果精确到 $1 m$ ，参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

A、 $31 m$ B、 $36 m$ C、 $42 m$ D、 $53 m$

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7. 如图所示，有一天桥高 $A B$ 为5米， $B C$ 是通向天桥的斜坡， $∠ A C B = 45 °$ ，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使 $∠ D = 30 °$ ，则 $C D$ 的长度约为（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414 ， \sqrt{3} \approx 1.732$ ）（）

A、 $1.59$ 米 B、 $2.07$ 米 C、 $3.55$ 米 D、 $3.66$ 米

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8. 如图，一航班沿北偏东 $60 °$ 方向从A地飞往C地，到达C地上空时，由于天气情况不适合着陆，准备备降B地，已知C地在B地的北偏西 $45 °$ 方向，则其改变航向时 $∠ α$ 的度数为（）

A、 $60 °$ B、 $75 °$ C、 $80 °$ D、 $105 °$

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二、填空题

9. 如图，大坝横截面迎水坡AB的坡比为2：1，若坝高AC为12（m），则迎水坡AB的长为（m）．

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10. 如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A，B，D三点在同一直线上，若AB＝20m，则这棵树CD的高度约为 m．（按四舍五入法将结果保留小数点后一位，参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.732$ ）

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11. 综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面 $C D$ 的中点A处竖直上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为 $45 °$ ，尚美楼顶部F的俯角为 $30 °$ ，已知博雅楼高度 $C E$ 为15米，则尚美楼高度 $D F$ 为米．（结果保留根号）

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12. 某数学活动小组要测量一建筑物的高度，如图，他们在建筑物前的平地上选择一点 $A$ ，在点 $A$ 和建筑物之间选择一点 $B$ ，测得 $A B = 30 m$ ．用高 $1 m (A C = 1 m)$ 的测角仪在 $A$ 处测得建筑物顶部 $E$ 的仰角为 $30 °$ ，在 $B$ 处测得仰角为 $60 °$ ，则该建筑物的高是 $m$ ．

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13. 为发展城乡经济，建设美丽乡村，某乡对 $A$ 地和 $B$ 地之间的一处垃圾填埋场进行改造，把原来 $A$ 地去往 $B$ 地需要绕行到 $C$ 地的路线，改造成可以直线通行的公路 $A B$ ．如图，经勘测， $A C = 6$ 千米， $∠ C A B = 60 °$ ， $∠ C B A = 37 °$ ，则改造后公路 $A B$ 的长是千米（精确到 $0.1$ 千米；参考数据： $s i n 37 ° \approx 0.60$ ， $c o s 37 ° \approx 0.80$ ， $t a n 37 ° \approx 0.75$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）．

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三、解答题

14. 教室里的投影仪投影时，可以把投影光线CA，CB及在黑板上的投影图像高度AB抽象成如图所示的△ABC， $∠ B A C = 90 °$ ．黑板上投影图像的高度 $A B = 120 c m$ ， CB与AB的夹角 $∠ B = 33.7 °$ ，求AC的长．（结果精确到1cm．参考数据： $s i n 33.7 ° \approx 0.55$ ， $c o s 33.7 ° \approx 0.83$ ， $t a n 33.7 ° \approx 0.67$ ）

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15. 今年“五一”长假期间，小陈、小余同学和家长去沙滩公园游玩，坐在如图的椅子上休息时，小陈感觉很舒服，激发了她对这把椅子的好奇心，就想出个问题考考同学小余，小陈同学先测量，根据测量结果画出了图1的示意图（图2）．在图2中，已知四边形 $A B C D$ 是平行四边形，座板 $C D$ 与地面 $M N$ 平行， $△ E B C$ 是等腰三角形且 $B C = C E$ ， $∠ F B A = 114.2 °$ ，靠背 $F C = 57 c m$ ，支架 $A N = 43 c m$ ，扶手的一部分 $B E = 16.4 c m$ ．这时她问小余同学，你能算出靠背顶端 $F$ 点距地面（ $M N$ ）的高度是多少吗？请你帮小余同学算出结果（最后结果保留一位小数）．（参考数据： $s i n 65.8 ° = 0.91$ ， $c o s 65.8 ° = 0.41$ ， $t a n 65.8 ° = 2.23$ ）

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四、综合题

16. 为了增强学生体质、针炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动.如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为 $B$ 点和 $C$ 点，行进路线为 $A \to B \to C \to A$ . $B$ 点在 $A$ 点的南偏东 $2 5^{°}$ 方向 $3 \sqrt{2} k m$ 处， $C$ 点在 $A$ 点的北偏东 $8 0^{°}$ 方向，行进路线AB和BC所在直线的夹角 $∠ A B C$ 为 $4 5^{°}$ .
⑴求行进路线BC和CA所在直线的夹角 $∠ B C A$ 的度数；

⑵求检查点 $B$ 和 $C$ 之间的距离(结果保留根号).

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17. 暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要登顶 $600 m$ 高的山峰，由山底A处先步行 $300 m$ 到达 $B$ 处，再由 $B$ 处乘坐登山缆车到达山顶 $D$ 处．已知点A，B．D，E，F在同一平面内，山坡 $A B$ 的坡角为 $30 °$ ，缆车行驶路线 $B D$ 与水平面的夹角为 $53 °$ （换乘登山缆车的时间忽略不计）

(1)、求登山缆车上升的高度 $D E$ ；

(2)、若步行速度为 $30 m / m i n$ ，登山缆车的速度为 $60 m / m i n$ ，求从山底A处到达山顶 $D$ 处大约需要多少分钟（结果精确到 $0.1 m i n$ ）
（参考数据： $s i n 53 ° \approx 0.80 ， c o s 53 ° \approx 0.60 ， t a n 53 ° \approx 1.33$ ）

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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