2023-2024学年初中数学九年级上册 25.3 解直角三角形同步分层训练培优卷(沪教版五四制)

试卷更新日期：2023-07-29 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，将两条宽度都为1的纸条重叠在一起，使 $∠ A B C = 60 °$ ，则四边形 $A B C D$ 的面积为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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2. 如图所示，在 $▱ A B C D$ 中，按以下步骤作图：①连接 $B D$ ，以点C为圆心，以 $C D$ 长为半径作弧，交 $B D$ 于点F；②分别以点D，F为圆心，以 $C D$ 长为半径作弧，两弧相交于点G；③作射线 $C G$ 交 $B D$ 于点E．若 $A D = 5$ ， $s i n ∠ A D B = \frac{2}{5}$ ，则 $B E$ 的长为（）

A、4 B、 $\sqrt{10}$ C、 $\sqrt{11}$ D、 $\sqrt{21}$

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3. 如图，正方形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ， $D E$ 平分 $∠ O D A$ 交 $O A$ 于点 $E$ ，若 $A B = 4$ ，则线段 $O E$ 的长为（）

A、 $\frac{4}{3} \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2} - 2$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $4 - 2 \sqrt{2}$

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4. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ，设 $∠ A ， ∠ B ， ∠ C$ 所对的边边长分别为a，b，c，则下列等式正确的是（）

A、 $\tan B = \frac{b}{a}$ B、 $\tan B = \frac{c}{b}$ C、 $\sin B = \frac{a}{b}$ D、 $\sin B = \frac{b}{a}$

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5. 一沙滩球网支架示意图如图所示，AB=AC=a米，∠ABC=a，则最高点A离地面BC的高度为（）

A、 $\frac{a}{c o s α}$ 米 B、 $\frac{a}{s i n α}$ 米 C、 $a c o s α$ 米 D、 $a s i n α$ 米

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6. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E ， F$ 分别是 $A B ， B C$ 上的动点，且 $A F ⊥ D E$ ，垂足为 $G$ ，将 $△ A B F$ 沿 $A F$ 翻折，得到 $△ A M F ， A M$ 交 $D E$ 于点 $P$ ，对角线 $B D$ 交 $A F$ 于点 $H$ ，连接 $H M ， C M ， D M ， B M$ ，下列结论正确的是：① $A F = D E$ ；② $B M ∥ D E$ ；③若 $C M ⊥ F M$ ，则四边形 $B H M F$ 是菱形；④当点 $E$ 运动到 $A B$ 的中点， $t a n ∠ B H F = 2 \sqrt{2}$ ；⑤ $E P \cdot D H = 2 A G \cdot B H$ ．（）

A、①②③④⑤ B、①②③⑤ C、①②③ D、①②⑤

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7. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点A在直线l上，以A为圆心， $O A$ 为半径的圆与y轴的另一个交点为E，给出如下定义：若线段 $O E$ ， $⊙ A$ 和直线l上分别存在点B，点C和点D，使得四边形 $A B C D$ 是矩形（点 $A ， B ， C ， D$ 顺时针排列），则称矩形 $A B C D$ 为直线l的“理想矩形”.例如，右图中的矩形 $A B C D$ 为直线l的“理想矩形”.若点 $A (3 ， 4)$ ，则直线 $y = k x + 1 (k \neq 0)$ 的“理想矩形”的面积为（）

A、12 B、 $3 \sqrt{14}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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8. 赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形（如图所示）．某次课后服务拓展学习上，小浔绘制了一幅赵爽弦图，她将EG延长交CD于点Ｉ．记小正方形EFGＨ的面积为Ｓ₁ ，大正方形ABCD的面积为Ｓ₂ ，若DＩ＝2，CＩ＝1，Ｓ₂＝5Ｓ₁ ，则GＩ的值是（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ B、 $\frac{9}{20} \sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{8}$ D、 $\frac{3}{4}$

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二、填空题

9. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $s i n A = \frac{6}{7}$ ，则 $c o s B =$ ．

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10. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点O，已知 $B D = 16$ ， $\tan ∠ O C D = \frac{4}{3}$ ，如果点E是边 $A B$ 的中点，那么 $O E =$ ．

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11. 一副直角三角板如图放置，点 $C$ 在 $F D$ 的延长线上， $A B ∥ C F ， ∠ F = ∠ A C B = 90 ° ， ∠ E = 45 ° ， ∠ A = 60 °$ ，则 $∠ D B C =$ °．

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12. 如图，在等边 $△ A B C$ 中，过点C作射线 $C D ⊥ B C$ ，点M，N分别在边 $A B$ ， $B C$ 上，将 $△ A B C$ 沿 $M N$ 折叠，使点B落在射线 $C D$ 上的点 $B ′$ 处，连接 $A B^{'}$ ，已知 $A B = 2$ ．给出下列四个结论：① $C N + N B^{'}$ 为定值；②当 $B N = 2 N C$ 时，四边形 $B M B^{'} N$ 为菱形；③当点N与C重合时， $∠ A B^{'} M = 18 °$ ；④当 $A B^{'}$ 最短时， $M N = \frac{7 \sqrt{21}}{20}$ ．其中正确的结论是（填写序号）

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13. 如图，将平行四边形 $A B C D$ 沿着对角线 $A C$ 翻折，点 $B$ 的对应点为 $M$ ， $C M$ 交 $A D$ 于点 $N$ ，如果 $∠ B = 76^{\circ}$ ， $∠ A C M = ∠ D C M + 10^{\circ}$ ，且 $N C = m$ ，那么平行四边形 $A B C D$ 的周长为．（参考数据： $\cos 76^{\circ} \approx 0.24 ， \tan 76^{\circ} \approx 4$ ）

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三、解答题

14. 如图，在 $△ A B C$ 中，已知 $∠ C = 90 ° ， s i n A = \frac{5}{13}$ ．点 $D$ 为边 $A C$ 上一点， $∠ B D C = 45 ° ， A D = 7$ ，求 $C D$ 的长．

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15. $Δ A B C$ 中， $∠ B = 45 °$ ， $∠ B A C = 15 °$ ， $A C = 10 c m$ ，求 $B C$ 边的长度．

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四、综合题

16. 如图1，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 60 °$ ．等腰 $△ M E F$ 的两个顶点 $E ， F$ 分别在 $A B ， A D$ 上，且 $∠ E M F = 120 °$ ，点 $A ， M$ 在 $E F$ 的异侧．

(1)、如图2，当 $E F ⊥ A C$ 于点 $K$ 时，
①求证： $A E = A F$ ，且点 $M$ 在菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 上．

②如图3，若 $E H ∥ A C$ 交 $B C$ 于点 $H ， F G ∥ A C$ 交 $C D$ 于点 $G$ ，连结 $G H$ ．当 $\frac{A B}{E M} =$ 时，四边形 $E H G F$ 为正方形．

(2)、如图1，
①判断：点 $M$ ▲ 菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 上．（填“在”或“不在”）

②若 $A B = 6 \sqrt{3} ， E M = 4$ ，请求出 $C M$ 的取值范围．

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17. 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为 $△ A B C$ 和 $△ D F E$ ，其中 $∠ A C B = ∠ D E F = 90 ° ， ∠ A = ∠ D$ ．将 $△ A B C$ 和 $△ D F E$ 按图2所示方式摆放，其中点 $B$ 与点 $F$ 重合（标记为点 $B$ ）．当 $∠ A B E = ∠ A$ 时，延长 $D E$ 交 $A C$ 于点 $G$ ．试判断四边形 $B C G E$ 的形状，并说明理由．


(1)、数学思考：谈你解答老师提出的问题；

(2)、深入探究：老师将图2中的 $△ D B E$ 绕点 $B$ 逆时针方向旋转，使点 $E$ 落在 $△ A B C$ 内部，并让同学们提出新的问题．


①“善思小组”提出问题：如图3，当 $∠ A B E = ∠ B A C$ 时，过点 $A$ 作 $A M ⊥ B E$ 交 $B E$ 的延长线于点 $M ， B M$ 与 $A C$ 交于点 $N$ ．试猜想线段 $A M$ 和 $B E$ 的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；



②“智慧小组”提出问题：如图4，当 $∠ C B E = ∠ B A C$ 时，过点 $A$ 作 $A H ⊥ D E$ 于点 $H$ ，若 $B C = 9 ， A C = 12$ ，求 $A H$ 的长．请你思考此问题，直接写出结果．



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三、解答题

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