2023-2024学年初中数学九年级上册 25.3 解直角三角形同步分层训练基础卷(沪教版五四制)

试卷更新日期：2023-07-29 类型：同步测试

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一、选择题

1. 以下是某数学兴趣小组开展的课外探究活动，探究目的：测量小河两岸的距离，探究过程：在河两岸选取相对的两点P、A，在小河边取 $P A$ 的垂线 $P B$ 上的一点C，测得 $P C = 50$ 米， $∠ P C A = 42 °$ ，则小河宽 $P A$ 等于（）

A、 $50 s i n 42 °$ 米 B、 $50 c o s 42 °$ 米 C、 $50 t a n 42 °$ 米 D、 $50 t a n 48 °$ 米

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2. 在△ABC中，∠C＝90°，sinB＝ $\frac{4}{5}$ ，则tanA＝（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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3. 如图是一款汽车千斤顶，其主要部件为四根连杆组成的菱形 $A B C D$ 和螺旋杆 $P Q$ ，当 $B D = m$ ， $∠ C B D = α$ 时，A，C两点的距离为（）

A、 $\frac{m t a n α}{2}$ B、 $\frac{m s i n α}{2}$ C、 $m t a n α$ D、 $m s i n α$

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4. 一张小凳子的结构如图所示， $A C = B C$ ， $∠ 1 = 100 °$ ， $B C = 20 c m$ ，则 $A B$ 等于（）.

A、 $20 s i n 50 ° c m$ B、 $40 c o s 50 ° c m$ C、 $\frac{20}{s i n 50 °} c m$ D、 $\frac{40}{c o s 50 °} c m$

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5. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $c o s A = \frac{1}{3}$ ，则 $t a n B$ 的值为（）

A、2 B、3 C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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6. 如图，在平面直角坐标中，矩形 $A B C D$ 的边 $A D = 5 ， O A ： O D = 1 ： 4$ ，将矩形 $A B C D$ 沿直线 $O E$ 折叠到如图所示的位置，线段 $O D_{1}$ 恰好经过点 $B$ ，点 $C$ 落在 $y$ 轴的点 $C_{1}$ 位置，点 $E$ 的坐标是（）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(- 1 ， 2)$ C、 $(\sqrt{5} - 1 ， 2)$ D、 $(1 - \sqrt{5} ， 2)$

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7. 如图，矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C ， B D$ 相交于点 $O$ ．若 $∠ A O B = 60 °$ ，则 $\frac{A B}{B C} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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8. 在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 60 °$ ， $A B = 4$ ，若 $△ A B C$ 是锐角三角形，则满足条件的 $B C$ 长可以是（）

A、1 B、2 C、6 D、8

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二、填空题

9. 如图，测得某医院的自动扶梯的长为m，自动扶梯与地面所成的角为α，则该自动扶梯到达的高度n为.

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10. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 2 \sqrt{3}$ ， $B C = 2$ ， $D$ 为 $A C$ 中点， $E$ 为边 $A B$ 上一动点，当构成的四边形 $B C D E$ 有一组邻边相等时，则 $A E$ 的长可以是．

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11. 如图， $△ A B C$ 是边长为6的等边三角形，点 $D ， E$ 在边 $B C$ 上，若 $∠ D A E = 30 °$ ， $t a n ∠ E A C = \frac{1}{3}$ ，则 $B D =$ ．

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12. 如图，将 $45 °$ 的∠AOB按图摆放在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2cm，若按相同的方式将 $37 °$ 的∠AOC放置在该尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为cm
（结果精确到0.1cm，参考数据： $s i n 37 ° \approx 0.60$ ， $c o s 37 ° \approx 0.80$ ， $t a n 37 ° \approx 0.75$ ）

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13. 如图，在等腰直角三角形 $A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ， $C O ⊥ A B$ 于点 $O$ ，中线 $A E$ 与 $C O$ 相交于点 $F$ ，则

(1)、 $\frac{E F}{A F}$ 的值为；

(2)、 $t a n ∠ O A F =$ ．

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三、解答题

14. 某校数学活动小组要测量校园内一棵古树的高度，王朵同学带领小组成员进行此项实践活动，记录如下：

填写人：王朵综合实践活动报告时间：2023年4月20日

活动任务：测量古树高度

活动过程

【步骤一】设计测量方案

小组成员讨论后，画出如图①的测量草图，确定需测的几何量．

【步骤二】准备测量工具

自制测角仪，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，如图②所示准备皮尺．

【步骤三】实地测量并记录数据如图③，王朵同学站在离古树一定距离的地方，将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达古树的最高点．

如图④，利用测角仪，测量后计算得出仰角 $α$ ．

测出眼睛到地面的距离 $A B$ ．

测出所站地方到古树底部的距离 $B D$ ．

$α =$ ．

$A B = 1.54 m$ ．

$B D = 10 m$ ．

【步骤四】计算古树高度 $C D$ ．（结果精确到 $0.1 m$ ）

（参考数据： $s i n 40 ° = 0.643 ， c o s 40 ° = 0.766 ， t a n 40 ° = 0.839$ ）

请结合图①、图④和相关数据写出 $α$ 的度数并完成【步骤四】．

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15. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 30 °$ ， $∠ B = 45 °$ ， $B C = 4 \sqrt{2}$ ，求 $A B$ 的长．

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四、作图题

16. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ D A B = 30 °$ ．

(1)、实践与操作：用尺规作图法过点 $D$ 作 $A B$ 边上的高 $D E$ ；(保留作图痕迹，不要求写作法)

(2)、应用与计算：在（1）的条件下， $A D = 4$ ， $A B = 6$ ，求 $B E$ 的长．

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五、综合题