2023-2024学年初中数学九年级上册 25.1 锐角三角比的意义同步分层训练培优卷(沪教版五四制)

试卷更新日期：2023-07-29 类型：同步测试

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一、选择题

1. 在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $t a n A = 2$ ，则 $s i n A$ 的值为（　　）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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2. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B = 5$ ， $B C = 4$ ，则 $∠ B$ 的正弦值为(　　)

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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3. 如图，A、D、B在同一条直线上，电线杆 $C D$ 的高度为h，两根拉线 $A C$ 与 $B C$ 相互垂直， $∠ C A B = α$ ，则拉线 $B C$ 的长度为（）

A、 $\frac{h}{c o s α}$ B、 $\frac{h}{s i n α}$ C、 $\frac{h}{t a n α}$ D、 $h \cdot c o s α$

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4. 如图，在 $5 \times 4$ 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1， $△ A B C$ 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则 $t a n ∠ B A C$ 的值为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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5. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，则sinB的值为（）

A、 $\frac{5}{12}$ B、 $\frac{5}{13}$ C、 $\frac{12}{5}$ D、 $\frac{12}{13}$

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6. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A D = 6 ， A B = 4$ ， E为 $A B$ 的中点，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 翻折得到 $△ F D E$ ，延长 $E F$ 交 $B C$ 于G， $F H ⊥ B C$ ，垂足为H，连接 $B F$ 、 $D G$ .以下结论：① $B F ∥ E D$ ； ② $B H = 3 F H$ ； ③ $t a n ∠ G E B = \frac{3}{4}$ ；④ $S_{△ B F G} = 0.3$ ，其中正确的个数是（　）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H.给出下列结论，其中正确结论的个数是（）
①△BDE∽△DPE；② $\frac{F P}{P H} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ；③ $D P^{2} = P H \cdot P B$ ；④tan∠DBE= $2 - \sqrt{3}$ .

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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8. 如图，在等边三角形ABC中，点P，Q分别是AC，BC边上的动点（都不与线段端点重合），且AP=CQ，AQ、BP相交于点O.下列四个结论：①若PC=2AP，则BO=6OP；②若BC=8，BP=7，则PC=5；③AP²=OP⋅AQ；④若AB=3，则OC的最小值为 $\sqrt{3}$ ，其中正确的是（）

A、①③④ B、①②④ C、②③④ D、①②③

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二、填空题

9. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， A C = 6 ， A B = 10$ ，则 $c o s B$ 的值为.

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10. 如图，在由相同的菱形组成的网格中， $∠ A B C = 60 °$ ，小菱形的顶点称为格点，已知点A，B，C，D，E都在格点上，连接 $B D$ ， $B E$ ， $t a n ∠ E B D$ 的值为.

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11. 如图，在边长为4的正方形ABCD内有一动点P，且BP＝ $\sqrt{2}$ .连接CP，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ.连接CQ、DQ，则 $\frac{1}{2}$ DQ+CQ的最小值为 .

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12. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $A D = 3$ ， $E$ 是射线 $A B$ 上一动点，连结 $D E$ 交对角线 $A C$ 于点 $F$ ，当 $D E$ 把 $△ A B C$ 分成一个三角形和一个四边形时，这个三角形的面积恰好是 $△ A B C$ 面积的 $\frac{1}{3}$ ，则 $A E$ 的长为.

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13. 如图，半径为6cm的⊙O中，C，D为直径AB的三等分点，点E，F分别在AB两侧的半圆上，∠BCE=∠BDF=60°，连结AE，BF，则图中两个阴影部分的面积为cm²

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三、解答题

14. 已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB，sinA = $\frac{4}{5}$ ， CD =4，AB =5，求AD的长和tanB的值.

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15. 如图，已知 $△ A B C$ 中， $A B = 12$ ， $∠ B = 30 °$ ， $\tan C = \frac{24}{7}$ ，边 $A B$ 的垂直平分线分别交 $A B$ 、 $B C$ 于点D、E．求线段 $C E$ 的长．

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四、作图题

16. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）．
⑴请画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A₁B₁C₁；
⑵以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的一半，得到△A₂B₂C₂ ，请在y轴右侧画出△A₂B₂C₂ ，并求出∠A₂C₂B₂的正切值为 ▲ ．

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五、综合题

17. 在 $△ A B C$ 中， $A C = B C = 10$ ， $t a n A = \frac{3}{4}$ ，点 $D$ ， $E$ 分别是 $A B$ ， $A C$ 边上的动点，连接 $D E$ ，作 $△ A D E$ 关于 $D E$ 对称的图形 $△ A^{'} D E$ .

(1)、如图1，当点 $A^{'}$ 恰好与点 $C$ 重合，求 $D E$ 的长；

(2)、如图2， $E$ 是 $A C$ 边的中点，当 $△ A^{'} D E$ 为等腰三角形时，求 $A D$ 的长；

(3)、如图3， $E$ 是 $A C$ 边的中点，连接 $A^{'} B$ ， $F$ 是 $A^{'} B$ 的中点，连接 $C F$ ，在 $D$ 点的运动过程中，求线段 $C F$ 长度的最大值.

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18. 【性质探究】
如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E.作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G.

(1)、判断△AFG的形状并说明理由.

(2)、求证：BF=2OG.

(3)、【迁移应用】
记△DGO的面积为S₁ ， △DBF的面积为S₂ ，当 $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{1}{3}$ 时，求 $\frac{A D}{A B}$ 的值.

(4)、【拓展延伸】
若DF交射线AB于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连结EF，当△BEF的面积为矩形ABCD面积的 $\frac{1}{10}$ 时，请直接写出tan∠BAE的值.

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、作图题

五、综合题

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