2023-2024学年初中数学九年级上册 25.1 锐角三角比的意义同步分层训练基础卷(沪教版五四制)

试卷更新日期：2023-07-29 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B = 5$ ， $A C = 3$ ，则 $c o s B$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{5}{4}$

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2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，则cosA的值为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{5}{4}$

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3. Rt△ABC中，若∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，则cosA的值为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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4. 在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，若 $s i n A = \frac{1}{2}$ ，则 $c o s B$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、2 D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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5. 如图1是第七届国际数学教育大会( $I C M E$ )的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图 $2$ 所示的四边形 $A B C D$ .如果已知 $A B = B C = 1$ ， $∠ A D B$ $=$ $α$ ，则 $t a n ∠ B D C$ 的值是（）

A、 $t a n α$ B、 $c o s α$ C、 $s i n α$ D、 $\frac{1}{s i n α}$

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6. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $B C = 2$ ， $t a n A = \frac{1}{2}$ ，则 $A B =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、4 D、 $2 \sqrt{3}$

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7. 如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E、F分别为AB、BC边的中点，连接AF、DE相交于点M，则 $c o s$ ∠CDM等于（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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8. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ，若 $A B = 6$ ， $A C = 8$ ，点 $D$ 是 $A C$ 上一点，且 $\frac{C D}{A D} = \frac{1}{3}$ ，则 $s i n ∠ D B C$ 的值为（）.

A、 $\frac{\sqrt{2}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ D、 $\frac{1}{5}$

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二、填空题

9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点D为 $A B$ 边的中点，连接 $C D$ ，若 $B C = 3 ， C D = 2$ ，则 $c o s B$ 的值是.

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10. 如图，AB与CD相交于点O，AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，若AC=10，OC=15，则 $t a n B$ 的值为．

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11. 如图，Rt△ABC中， $∠ C = 90 °$ ， AC＝5，BC＝12，则cosA的值为．

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12. 如图，在一张长方形纸片 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别是 $A B$ 和 $C D$ 的中点，点 $H$ 是 $B C$ 上一点，将矩形的一角沿 $A H$ 所在的直线翻折，点 $B$ 恰好落在 $E F$ 上，若 $A B = 10$ ，则 $B H$ 的长是.

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13. 图1是一种折叠式晾衣架展开时的情况，图2是示意图，两个支脚和晾衣臂 $O A = O B = O C = O D = 6$ ，张开夹角 $∠ A O B = 60 ° ， O E = O F = 2$ ，晾衣臂支架 $E G = F H = 4$ .

(1)、当 $∠ A O D = 90 °$ 时， $∠ E G O$ 的度数为.

(2)、当OC从水平方向旋转到 $O M ⊥ O B$ 时， $△ O N H$ 的面积为.

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三、解答题

14. 求出图中∠A的正弦值、余弦值和正切值．

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15. 为了充分利用四边形余料，小明设计了不同的方案裁剪正方形，裁剪方案与数据如下表：

方案设计	方案1	方案2
裁剪方案示意图
说明	图中的正方形 $A E F G$ 和正方形 $M N P Q$ 四个顶点都在原四边形的边上
测量数据	$A D = 9 d m$ ， $C D = 2 d m$ ， $A B = 14 d m$ ， $∠ A = ∠ D = 90 °$ ；
任务1：探寻边角	填空： $B C =$ ▲ $d m$ ， $s i n B =$ ▲ ；
任务2：比较面积	计算或推理：正方形 $A E F G$ 和正方形 $M N P Q$ 边长之比；
任务3：应用实践	若在 $△ B E F$ 余料上再截取一个最大正方形，正方形的边长为 ▲ $d m$ .

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四、作图题

16. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的顶点坐标分别为 $A (6 ， 4)$ ， $B (4 ， 0)$ ， $C (2 ， 0)$ .

(1)、在y轴左侧，以O为位似中心，画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，使它与 $△ A B C$ 的相似比为 $1 ： 2$ ；

(2)、根据（1）的作图， $t a n ∠ C_{1} A_{1} B_{1} =$ .

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五、综合题

17. 在 $△ A B C$ 和 $△ B D E$ 中，点 $A ， B ， D$ 在同一直线上， $A C ⊥ A D ， B C ⊥ B E$ .

(1)、如图1，如果 $D E ⊥ A D$ ，求证： $△ A B C ∽ △ D E B$ ；

(2)、如果 $A D = 20$ ， $A C = 4$ ， $B E = \frac{1}{2} B C$ .
$①$ 如图2，当 $B E = D E$ 时，求 $A B$ 的长；
$②$ 如图3， $G$ 点是 $C A$ 延长线上一点，且 $A G = 8$ ，连结 $B G$ ，如果 $∠ G = ∠ D$ ，求 $t a n D$ 的值.

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18. 我们知道：如图①，点B把线段AC分成两部分，如果 $\frac{B C}{A B}$ ＝ $\frac{A B}{A C}$ ，那么称点B为线段AC的黄金分割点.它们的比值为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ .

(1)、在图①中，若AC＝20cm，则AB的长为cm；

(2)、如图②，用边长为20cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B对应点H，得折痕CG.试说明：G是AB的黄金分割点；

(3)、如图③，小明进一步探究：在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点E（AE＞DE），连接BE，作CF⊥BE，交AB于点F，延长EF、CB交于点P.他发现当PB与BC满足某种关系时，E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点.请猜想小明的发现，并说明理由.

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、作图题

五、综合题

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