2023-2024学年初中数学九年级上册 24.7 向量的线性运算同步分层训练基础卷(沪教版五四制)

试卷更新日期：2023-07-29 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，对角线 $A C 、 B D$ 相交于点O，下列结论中错误的是（）

A、 $\vec{A B}$ 与 $\vec{D C}$ 是相等的向量 B、 $\vec{O A}$ 与 $\vec{O D}$ 是相等的向量 C、 $\vec{A D}$ 与 $\vec{C B}$ 是相反的向量 D、 $\vec{O A}$ 与 $\vec{A C}$ 是平行的向量

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2. 已知四边形 $A B C D$ 是矩形，点 $O$ 是对角线 $A C$ 与 $B D$ 的交点.下列四种说法：①向量 $\vec{A O}$ 与向量 $\vec{O C}$ 是相等的向量；②向量 $\vec{O A}$ 与向量 $\vec{O C}$ 是互为相反的向量；③向量 $\vec{A B}$ 与向量 $\vec{C D}$ 是相等的向量；④向量 $\vec{B O}$ 与向量 $\vec{B D}$ 是平行向量．其中正确的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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3. 已知在△ABC中，AD是中线，设 $\vec{A B} = \vec{m} ， \vec{A D} = \vec{n}$ ，那么向量 $\vec{B C}$ 用向量 $\vec{m} ， \vec{n}$ 表示为（）

A、 $2 \vec{m} - 2 \vec{n}$ B、 $2 \vec{m} + 2 \vec{n}$ C、 $2 \vec{n} - 2 \vec{m}$ D、 $\vec{n} - \vec{m}$

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4. 如图，点G是△ABC的重心，联结AG并延长交BC边于点D．设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{G D} = \vec{b}$ ，那么向量 $\vec{B C}$ 用向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 表示为（　　）

A、 $\vec{B C} = 3 \vec{b} - 2 \vec{a}$ B、 $\vec{B C} = 3 \vec{b} + 2 \vec{a}$ C、 $\vec{B C} = 6 \vec{b} - 2 \vec{a}$ D、 $\vec{B C} = 6 \vec{b} + 2 \vec{a}$

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5. 已知：点C在线段AB上，且AC = 2BC，那么下列等式一定正确的是（）

A、 $\vec{A C} + 2 \vec{B C} = \frac{4}{3} \vec{A B}$ B、 $\vec{A C} - 2 \vec{B C} = \vec{0}$ C、 $| \vec{A C} + \vec{B C} | = | \vec{B C} |$ D、 $| \vec{A C} - \vec{B C} | = | \vec{B C} |$

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6. 已知 $\vec{m} = 3 \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b}$ ， $\vec{n} = \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{a}$ ，那么 $\vec{m} - 4 \vec{n}$ 等于（）

A、 $2 \vec{a} - \frac{8}{3} \vec{b}$ B、 $4 \vec{a} - \frac{4}{3} \vec{b}$ C、 $2 \vec{a} - \frac{4}{3} \vec{b}$ D、 $4 \vec{a} - \frac{8}{3} \vec{b}$

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7. 在四边形 $A B C D$ 中，若 $\vec{A B} = \vec{a} ， \vec{A D} = \vec{b} ， \vec{B C} = \vec{c}$ ，则 $\vec{C D}$ 等于（）

A、 $\vec{a} - \vec{b} - \vec{c}$ B、 $- \vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$ C、 $\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$ D、 $- \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$

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8. 若 $\overset{⇀}{a}$ ＝2 $\overset{⇀}{e}$ ，向量 $\overset{⇀}{b}$ 和向量 $\overset{⇀}{a}$ 方向相反，且| $\overset{⇀}{b}$ |＝2| $\overset{⇀}{a}$ |，则下列结论中错误的是（　　）

A、| $\overset{⇀}{a}$ |＝2 B、| $\overset{⇀}{b}$ |＝4 C、 $\overset{⇀}{b}$ ＝4 $\overset{⇀}{e}$ D、 $\overset{⇀}{a}$ ＝ $- \frac{1}{2} \overset{⇀}{b}$

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二、填空题

9. 如图，在△ABC中，点D在边AB上，且 $\frac{A D}{B D}$ ＝ $\frac{2}{3}$ ，点E是AC的中点， $\vec{B A}$ ＝ $\vec{a}$ ， $\vec{A C}$ ＝ $\vec{b}$ ，试用向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示向量 $\vec{D E}$ ，那么 $\vec{D E}$ ＝．

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10. 如图，在ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，如果 $\vec{A C} = \vec{x}$ ，那么 $\vec{C D}$ ＝（用 $\vec{x}$ 表示）．

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11. 如图，大坝横截面迎水坡AB的坡比为2：1，若坝高AC为12（m），则迎水坡AB的长为（m）．

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12. 计算： $s i n 30 ° + {(π - 3)}^{0} - {(\frac{1}{2})}^{- 2} =$ ．

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13. 如图，在平面直角坐标中，抛物线 $y = a x^{2} + b x (a > 0)$ 和直线 $y = k x (k > 0)$ 交于点 $O$ 和点 $A$ ，则不等式 $a x^{2} + b x < k x$ 的解集为．

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14. 如果抛物线 $y = a x^{2}$ 在对称轴左侧呈上升趋势，那么a的取值范围是．

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三、解答题

15. 如图，已知：四边形ABCD中，点M、N分别在边BC、CD上， $\frac{C M}{M B} = \frac{C N}{N D} = 2$ ，设 $\vec{A B} = a$ ， $A D = b$ ．
求向量 $\vec{M N}$ 关于 $a$ 、 $b$ 的分解式．

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16. 如图，AD是△ABC中BC边上的中线，点E、F分别是AD、AC的中点，设 $\vec{A C}$ ＝ $\vec{a}$ ， $\vec{A B}$ ＝ $\vec{b}$ ，用 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 的线性组合表示向量 $\vec{E F}$ ．

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四、作图题

17. 如图，已知两个不平行的向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b} ．$ 先化简，再求作： $\frac{3}{2} \vec{a} + 3 \vec{b} - (- \frac{1}{2} \vec{a} + 2 \vec{b})$ ．不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量

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五、综合题

18. 如图，已知 $△ A B C$ 中，点D、E分别在边 $A B$ 和 $A C$ 上， $D E ∥ B C$ ，且DE经过 $△ A B C$ 的重心G．

(1)、设 $\vec{B C} = \vec{a}$ ， $\vec{D E} =$ （用向量 $\vec{a}$ 表示）

(2)、如果 $∠ A C D = ∠ B$ ， $A B = 9$ ，求边 $A C$ 的长．

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19. 如图，已知在 $△ A B C$ 中，点 $D 、 E$ 分别在边 $A B 、 A C$ 上，且 $D E$ $∥$ $B C$ ，过点 $D$ 作 $D F$ $∥$ $B E$ 交 $A C$ 于点 $F$ ．

(1)、求证： $A E^{2} = A F \cdot A C$ ；

(2)、若 $A D ： B D = 2 ： 1$ ， $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ，请用 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 表示 $\vec{A E}$ 、 $\vec{B E}$ （直接写出答案）．

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2023-2024学年初中数学九年级上册 24.7 向量的线性运算 同步分层训练基础卷(沪教版五四制)

一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、作图题

五、综合题

2023-2024学年初中数学九年级上册 24.7 向量的线性运算同步分层训练基础卷(沪教版五四制)