2023-2024学年初中数学九年级上册 24.5 相似三角形的性质同步分层训练基础卷(沪教版五四制)

试卷更新日期：2023-07-29 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，在正方形网格中， $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 位似，则下列说法正确的是（）

A、位似中心是点 $B$ B、位似中心是点 $D$ C、位似比为 $2 ： 1$ D、位似比为 $1 ： 2$

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2. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，点E在边 $D C$ 上， $D E ： E C ＝ 4 ： 1$ ，连接 $A E$ 交 $B D$ 于点F，则 $△ D E F$ 的面积与 $△ B A F$ 的面积之比为（）

A、 $4 ： 5$ B、 $9 ： 16$ C、 $16 ： 25$ D、 $3 ： 5$

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3. 如图， $△ A D E ∼ △ A C B$ ， $D E = 5$ ， $S_{△ A D E} ： S_{四边形 B C E D} = 9 ： 16$ ，则 $B C$ 为（）

A、8 B、 $\frac{20}{3}$ C、 $\frac{25}{3}$ D、10

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4. 若两个相似三角形周长的比为 $1 ： 4$ ，则这两个三角形对应边的比是（）

A、 $1 ： 2$ B、 $1 ： 4$ C、 $1 ： 8$ D、 $1 ： 16$

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5. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = 1$ ， $A C = 2 \sqrt{2}$ 点 $D$ ， $E$ 分别是边 $B C$ ， $A C$ 上的动点，则 $D A + D E$ 的最小值为（）

A、 $\frac{8}{9}$ B、 $\frac{16}{9}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{9}$ D、 $\frac{16 \sqrt{2}}{9}$

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6. 常言道：失之毫厘，谬以千里．当人们向太空发射火箭或者描述星际位置时，需要非常准确的数据． $1^{″}$ 的角真的很小．把整个圆等分成360份，每份这样的弧所对的圆心角的度数是 $1 °$ ． $1 ° = 6 0^{'} = 360 0^{″}$ ．若一个等腰三角形的腰长为1千米，底边长为4.848毫米，则其顶角的度数就是 $1^{″}$ ．太阳到地球的平均距离大约为 $1.5 \times 1 0^{8}$ 千米．若以太阳到地球的平均距离为腰长，则顶角为 $1^{″}$ 的等腰三角形底边长为（　　）

A、24.24千米 B、72.72千米 C、242.4千米 D、727.2千米

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7. 如图， $△ A B C$ 为等边三角形，点 $D$ ， $E$ 分别在边 $B C$ ， $A B$ 上， $∠ A D E = 60 °$ ，若 $B D = 4 D C$ ， $D E = 2.4$ ，则 $A D$ 的长为（）

A、 $1.8$ B、 $2.4$ C、 $3$ D、 $3.2$

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 90 ° ， ∠ A = 30 ° ， B C = 2 ， D$ 为 $A B$ 的中点．若点 $E$ 在边 $A C$ 上，且 $\frac{A D}{A B} = \frac{D E}{B C}$ ，则 $A E$ 的长为（）

A、1 B、2 C、1或 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、1或2

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二、填空题

9. 在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为米.

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10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 $A (- 3 ， 6)$ 、 $B (- 9 ， - 3)$ ，以原点O为位似中心，相似比为 $\frac{1}{3}$ ，把 $△ A B O$ 缩小，则点B的对应点 $B^{'}$ 的坐标是．

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11. 如图， $△ A B C$ 和 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 是以点 $O$ 为位似中心的位似图形，点 $A$ 在线段 $O A^{^{'}}$ 上．若 $O A ： A A^{'} = 1 ： 2$ ，则 $△ A B C$ 和 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 的周长之比为．

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12. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 $O A B C$ 的顶点坐标分别是 $O (0 ， 0) ， A (1 ， 0) ， B (2 ， 3) ， C (- 1 ， 2)$ ，若四边形 $O A^{'} B^{'} C^{'}$ 与四边形 $O A B C$ 关于原点 $O$ 位似，且四边形 $O A^{'} B^{'} C^{'}$ 的面积是四边形 $O A B C$ 面积的4倍，则第一象限内点 $B^{'}$ 的坐标为．

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13. 如图，已知 $A$ 是反比例函数 $y = \frac{1}{x} (x > 0)$ 图象上的一点，过点 $A$ 作 $A B / / x$ 轴交 $y = - \frac{4}{x}$ 的图象于点 $B .$ 以 $O B$ ， $B A$ 为边作▱ $O B A C$ ，连结 $B C$ 交 $y$ 轴于点 $D$ ，则 $S_{△ C O D} =$ ．

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三、解答题

14. 综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪ABCD为正方形，AB=30cm，顶点A处挂了一个铅锤M．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线AM交BC于点H．经测量，点A距地面1.8m，到树EC的距离 $A F = 11$ m， $B H = 20$ cm．求树EG的高度（结果精确到0.1m）．

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15. 某校九年级一班的兴趣小组准备测量学校外一栋建筑 $M N$ 物的高度，出于安全考虑，他们不得离开校园，于是便利用所学知识制定了如下的测量方案：如图所示，首先，王磊站在点 $B$ ，并在正前方 $3$ 米的点 $C$ 放置一平面镜，通过平面镜王磊刚好可以看到建筑物的顶端点 $M$ ，此时测得王磊的眼睛到地面的距离 $A B$ 为 $1.5$ 米；然后，刘慧在建筑物的影子顶端 $D$ 点竖立了一根高 $2$ 米的标杆 $D E$ ，此时测得标杆的影子 $D F$ 长为 $6$ 米，而王磊与刘慧之间的距离 $B D$ 为 $61$ 米，已知 $M N ⊥ N F$ ， $A B ⊥ N F$ ， $E D ⊥ N F$ ，点 $N$ ， $C$ ， $B$ ， $F$ ， $D$ 在一条直线上，请根据以上数据，计算目标建筑物 $M N$ 的高度 $($ 平面镜大小忽略不计 $)$ ．

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四、作图题

16. 如图是由小正方形组成的 $8 \times 6$ 网格，每个小正方形的顶点叫做格点，正方形 $A B C D$ 四个顶点都是格点， $E$ 是 $A D$ 上的格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．

(1)、在图（1）中，先将线段 $B E$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $90 °$ ，画对应线段 $B F$ ，再在 $C D$ 上画点 $G$ ，并连接 $B G$ ，使 $∠ G B E = 45 °$ ；

(2)、在图（2）中， $M$ 是 $B E$ 与网格线的交点，先画点 $M$ 关于 $B D$ 的对称点 $N$ ，再在 $B D$ 上画点 $H$ ，并连接 $M H$ ，使 $∠ B H M = ∠ M B D$ ．

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五、综合题

17. 问题提出：已知矩形 $A B C D$ ，点 $E$ 为 $A B$ 上的一点， $E F ⊥ A B$ ，交 $B D$ 于点 $F$ ．将 $△ E B F$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $α$ $(0 ° <$ $α$ $< 90 °)$ 得到 $△$ $E^{'} B F^{'}$ ，则 $A E^{'}$ 与 $D F^{'}$ 有怎样的数量关系．

(1)、【问题探究】
探究一：如图，已知正方形 $A B C D$ ，点 $E$ 为 $A B$ 上的一点， $E F ⊥ A B$ ，交 $B D$ 于点 $F$ ．
如图1，直接写出 $\frac{D F}{A E}$ 的值；

(2)、将 $△ E B F$ 绕点 $B$ 顺时针旋转到如图 $2$ 所示的位置，连接 $A E$ 、 $D F$ ，猜想 $D F$ 与 $A E$ 的数量关系，并证明你的结论；

(3)、探究二：如图，已知矩形 $A B C D$ ，点 $E$ 为 $A B$ 上的一点， $E F ⊥ A B$ ，交 $B D$ 于点 $F$ ．

如图3，若四边形 $A B C D$ 为矩形， $\frac{A B}{B C} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，将 $△ E B F$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $α （ 0 ° < α < 90 ° ）$ 得到 $△$ $E^{'} B F^{'}$ $(E$ 、 $F$ 的对应点分别为 $E^{'}$ 、 $F^{'}$ 点 $)$ ，连接 $A E^{'}$ 、 $D F^{'}$ ，则 $\frac{A E^{^{'}}}{D F^{^{'}}}$ 的值是否随着 $α$ 的变化而变化．若变化，请说明变化情况；若不变，请求出 $\frac{A E^{^{'}}}{D F^{^{'}}}$ 的值．

(4)、【一般规律】
如图3，若四边形 $A B C D$ 为矩形， $B C = m A B$ ，其它条件都不变，将 $△ E B F$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $α$ $(0 ° <$ $α$ $< 90$ $°)$ 得到 $△$ $E^{'} B F^{'}$ ，连接 $A E^{'}$ ， $D F^{'}$ ，请直接写出 $A E^{'}$ 与 $D F^{'}$ 的数量关系．

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18. 如图，已知坐标轴上两点 $A (0 ， 4) ， B (2 ， 0)$ ，连接 $A B$ ，过点B作 $B C ⊥ A B$ ，交反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 在第一象限的图象于点 $C (a ， 1)$ ．

(1)、求反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 和直线 $O C$ 的表达式；

(2)、将直线 $O C$ 向上平移 $\frac{3}{2}$ 个单位，得到直线l，求直线l与反比例函数图象的交点坐标．

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2023-2024学年初中数学九年级上册 24.5 相似三角形的性质 同步分层训练基础卷(沪教版五四制)

一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、作图题

五、综合题

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