2023-2024学年初中数学九年级上册 24.4 相似三角形的判定同步分层训练培优卷(沪教版五四制)

试卷更新日期：2023-07-29 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，在平行四边形ABCD中，E为CD延长线上一点，连接BE交AD于F，连接AE，则图中与△DEF相似（不包括本身）的三角形共有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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2. 新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．如图，已知 $△ A B C$ 是 $6 \times 6$ 的网格图中的格点三角形，那么该网格中所有与 $△ A B C$ 相似且有一个公共角的格点三角形的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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3. 如图，点 $P$ 在 $△ A B C$ 的边 $A C$ 上，要判断 $△ A B P ∽ △ A C B$ ，添加下列一个条件，错误的是（）

A、 $∠ A B P = ∠ C$ B、 $\frac{A P}{A B} = \frac{B P}{B C}$ C、 $\frac{A P}{A B} = \frac{A B}{A C}$ D、 $∠ A P B = ∠ A B C$

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4. 在三边都不相等的 $△ A B C$ 的边 $A B$ 上有一点D，过点D画一条直线，与三角形的另一边相交所截得的三角形与 $△ A B C$ 相似，这样的直线最多可以画（）

A、5条 B、4条 C、3条 D、2条

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5. 如图，将矩形ABCD沿着GE，EC，GF翻折，使得点A，B，D恰好都落在点O处，且点G，O，C在同一条直线上，点E，O，F 在另一条直线上. 以下结论正确的是（）

A、△COF∽△CEG B、OC=3OF C、AB：AD=4：3 D、GE= $\sqrt{6}$ DF

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6. 如图，四边形 $A B C D$ 是边长为2的正方形点P为线段 $A B$ 上的动点，E为 $A D$ 的中点，射线 $P E$ 交 $C D$ 的延长线于点Q，过点E作 $P Q$ 的垂线交 $C D$ 于点H.交 $B C$ 的延长线于点F，则以下结论：① $∠ A E P = ∠ C H F$ ；② $△ E H Q \sim △ C H F$ ；③当点F与点C重合时 $3 P A = P B$ ；④当 $P A = P B$ 时， $C F = 2 \sqrt{2}$ .成立的是（）

A、①②③ B、①③④ C、②③④ D、②④

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7. 如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点P是反比例函数 $y = \frac{6}{x}$ $($ x $> 0)$ 的图象上任意一点，PA $⊥$ x轴于点A，PD $⊥$ y轴于点D，分别交反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ $($ x $> 0$ ， $0 <$ k $< 6)$ 的图象于点B，C $.$ 下列结论：①当k $= 3$ 时，BC是 $△$ PAD的中位线；②不论k为何值，都有 $△$ PDA∽ $△$ PCB；③当四边形ABCD的面积等于2时，k $< 3.$ ④若点P $(3 ， 2)$ ，将 $△$ PCB沿CB对折，使得P点恰好落在OA上时，则 $k = \frac{4}{3}$ ；其中正确的个数有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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8. 如图，将矩形 $A B C D$ 沿着 $G E$ 、 $E C$ 、 $G F$ 翻折，使得点 $A$ 、 $B$ 、 $D$ 恰好都落在点 $O$ 处，且点 $G$ 、 $O$ 、 $C$ 在同一条直线上，同时点 $E$ 、 $O$ 、 $F$ 在另一条直线上.小炜同学得出以下结论：
① $G F ∥ E C$ ；② $A B = \frac{4 \sqrt{3}}{5} A D$ ；③ $G E = \sqrt{6} D F$ ；④ $O C = 2 \sqrt{2} O F$ ；⑤ $△ C O F ∽ △ C E G$ .

其中正确的是（）

A、①②③ B、①③④ C、①④⑤ D、②③④

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二、填空题

9. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A (1 ， 0)$ ， $B (0 ， 2)$ ，点C为图示中正方形网格交点之一（点O除外），如果以A、B、C为顶点的三角形与 $△ O A B$ 相似，那么点C的坐标是．

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10. 图中的两个三角形是否相似，（填“是”或“否”）.

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11. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B > A C$ ，点D在 $A B$ 边上，点E在 $A C$ 边上且 $A D < A E$ .只需添加一个条件即可证明 $△ A B C ∽ △ A E D$ ，这个条件可以是（写出一个即可）.

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12. 如图，在 $△ A B C$ 中，点D，E分别为边 $A B$ ， $A C$ 上的点，试添加一个条件：，使得 $△ A D E$ 与 $△ A B C$ 相似．（任意写出一个满足条件的即可）

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13. 等腰 $Δ A B C$ 被某一条直线分成两个等腰三角形，并且其中一个等腰三角形与原三角形相似，则等腰 $Δ A B C$ 的顶角的度数是.

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三、解答题

14. 如图， $A C$ 为菱形 $A B C D$ 的对角线，点E在 $A C$ 的延长线上，且 $∠ E = ∠ A B C$ ．求证： $△ A C D ∽ △ A B E$ ．

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15. 如图，点D为 $△ A B C$ 的边 $A B$ 的中点，过点D作 $D E ∥ B C$ ，交 $A C$ 于点E，延长 $D E$ 至点F，使 $D E = E F$ ，求证： $△ C F E ∽ △ A B C$ .

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四、作图题

16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ C = 72 °$ ，在 $A C$ 上求作一点D，使得 $△ B C D ∽ △ A C B$ ．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

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五、综合题

17. 在平面直角坐标系中，已知OA＝10cm，OB＝5cm，点P从点O开始沿OA边向点A以2cm/s的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤5），

(1)、用含t的代数式表示：线段PO＝cm；OQ＝cm．

(2)、当t为何值时△POQ的面积为6cm²？

(3)、当△POQ与△AOB相似时，求出t的值．

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18. 如图1，矩形ABCD中，点E为AB边上的动点（不与A，B重合），把 $Δ A D E$ 沿DE翻折，点A的对应点为 $A_{1}$ ，延长 $E A_{1}$ 交直线DC于点F，再把 $∠ B E F$ 折叠，使点B的对应点 $B_{1}$ 落在EF上，折痕EH交直线BC于点H.

(1)、求证： $Δ A_{1} D E ∽ Δ B_{1} E H$ ；

(2)、如图2，直线MN是矩形ABCD的对称轴，若点 $A_{1}$ 恰好落在直线MN上，试判断 $Δ D E F$ 的形状，并说明理由；

(3)、如图3，在（2）的条件下，点G为 $Δ D E F$ 内一点，且 $∠ D G F = 150 °$ ，试探究DG，EG，FG的数量关系.

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、作图题

五、综合题

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