2023-2024学年初中数学九年级上册 24.3 三角形一边的平行线同步分层训练培优卷(沪教版五四制)

试卷更新日期：2023-07-29 类型：同步测试

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一、选择题

1. 某校要举办国庆联欢会，主持人站在舞台中轴线AB的黄金分割点C处（如图1）最自然得体．即 $\frac{B C}{A B} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ，在数轴（如题图2）上最接近 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 的点是（）

A、 $P$ B、 $Q$ C、 $M$ D、 $N$

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2. 如图，在 $△ A B C$ 中，点D在边 $A B$ 上，过点D作 $D E ∥ B C$ ，交 $A C$ 于点E．若 $A D = 2 ， B D = 3$ ，则 $\frac{A E}{A C}$ 的值是（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{2}{3}$

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3. 我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献，优选法中有一种0.618法应用了（）

A、黄金分割数 B、平均数 C、众数 D、中位数

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4. 小明用地理中所学的等高线的知识在某地进行野外考察，他根据当地地形画出了“等高线示意图”，如图所示(注：若某地在等高线上，则其海拔就是其所在等高线的数值；若不在等高线上，则其海拔在相邻两条等高线的数值范围内)，若点 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，则 $\frac{A B}{A C}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、2

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5. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B > B C$ ，延长 $D C$ 至点 $E$ ，使得 $C E = B C$ ，以 $D E$ 为直径的半圆 $O$ 交 $B C$ 延长线于点 $F$ .欧几里得在《几何原本》中利用该图得到结论：矩形 $A B C D$ 的面积等于 $C F$ 的平方（即 $S_{矩形 A B C D} = C F^{2}$ ）.现连接 $F O$ 并延长交 $A B$ 于点 $G$ ，若 $O F = 2 O G$ ，则 $△ O C F$ 与矩形 $A B C D$ 的面积之比为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{5}$ B、 $\frac{3}{8}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{4}{9}$

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6. 在 $△ A B C$ 中，点D、E分别在AB、AC上，如果AD： $B D = 1$ ：3，那么下列条件中能够判断 $D E / / B C$ 的是（）

A、 $\frac{D E}{B C} = \frac{1}{4}$ B、 $\frac{A D}{A B} = \frac{1}{4}$ C、 $\frac{A E}{A C} = \frac{1}{4}$ D、 $\frac{A E}{E C} = \frac{1}{4}$

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7. 如图，在矩形ABCD的外部有四个全等的直角三角形，分别为△AEB，△BFG，△CGD，△DHE，连结EC，DF交于点O，若 $\frac{S_{△ D E O}}{S_{△ F C O}} = \frac{5}{3}$ ，则 $\frac{A E}{A B}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{2}$

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8. 如图，边长为5的大正方形 $A B C D$ 是由四个全等的直角三角形和一个小正方形 $E F G H$ 组成，连结 $A F$ 并延长交 $C D$ 于点M.若 $A H = G H$ ，则 $C M$ 的长为（　　）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、1 D、 $\frac{5}{4}$

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二、填空题

9. 如图，直线AD，BC交于点O， $A B ∥ E F ∥ C D$ .若 $A O = 2$ ， $O F = 1$ ， $F D = 2$ .则 $\frac{B E}{E C}$ 的值为．

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10. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ B C D = 90 °$ ，对角线 $A C ， B D$ 相交于点 $O$ ．若 $A B = A C = 5 ， B C = 6 ， ∠ A D B = 2 ∠ C B D$ ，则 $A D$ 的长为．

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11. 如图，正方形 $A B C D$ 中，E为 $B C$ 上一点，过B作 $B G ⊥ A E$ 于G，延长 $B G$ 至点F使 $∠ C F B = 45 °$ ，延长 $F C 、 A E$ 交于点M，连接 $B M$ ，若C为 $F M$ 中点， $B M = 10$ ，则 $F G$ 的长为．

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12. 由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．将小正方形对角线EF双向延长，分别交边AB，和边BC的延长线于点G，H．若大正方形与小正方形的面积之比为5，GH＝2 $\sqrt{5}$ ，则大正方形的边长为．

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13. 如图，在平行四边形ABCD中， $A B ⊥ A C$ ， $A B = 3$ ， $A C = 4$ ，分别以A，C为圆心，大于 $\frac{1}{2} A C$ 的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与BC交于点E，与AD交于点F，连接AE，CF，则四边形AECF的周长为.

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三、解答题

14. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D E ∥ B C$ ，若 $A B = 5 c m ， A D = 2 c m ， A C = 4 c m$ ，求 $E C$ 的长.

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15. 如图，梯形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ，点E是边 $A D$ 的中点，联结 $B E$ 并延长交 $C D$ 的延长线于点F，交 $A C$ 于点G．求证： $E F \cdot G B = B F \cdot G E$ ．

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四、作图题

16. 如图，在由边长都为1的小正方形组成的网格中，点 $A ， B ， C$ 均为格点，点 $P ， Q$ 为线段 $A B$ 上的动点，且满足 $P Q = 1$ .

（Ⅰ）当点Q为线段 $A B$ 中点时 $C Q$ 的长度等于 ▲ .

（Ⅱ）当线段 $C Q + C P$ 取得最小值时，请借助无刻度直尺在给定的网格中画出点Q，并简要说明你是怎么画出点Q的.

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五、综合题

17. 课本再现

思考

我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？

可以发现并证明菱形的一个判定定理；

对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

(1)、定理证明：为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．

已知：在 $▱ A B C D$ 中，对角线 $B D ⊥ A C$ ，垂足为 $O$ ．

求证： $▱ A B C D$ 是菱形．

(2)、知识应用：如图

2

，在

▱ A B C D

中，对角线

A C

和

B D

相交于点

O

，

A D = 5 ， A C = 8 ， B D = 6

．

①求证： $▱ A B C D$ 是菱形；

②延长 $B C$ 至点 $E$ ，连接 $O E$ 交 $C D$ 于点 $F$ ，若 $∠ E = \frac{1}{2} ∠ A C D$ ，求 $\frac{O F}{E F}$ 的值．

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18. 如图，在 $7 \times 5$ 的方格纸 $A B C D$ 中，请按要求画格点线段（端点在格点上），且线段的端点均不与点A，B，C，D重合.

(1)、在图1中画一条格点线段 $G H$ ，使G，H分别落在边 $A D$ ， $B C$ 上，且 $G H$ 与 $E F$ 互相平分.

(2)、在图2上画一条格点线段 $M N$ ，使M，N分别落在边 $A B$ ， $C D$ 上，且要求 $M N$ 分 $E F$ 为 $1 ： 2$ 两部分.

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