2023-2024学年初中数学八年级上册 19.10 两点的距离公式同步分层训练培优卷(沪教版五四制)

试卷更新日期：2023-07-29 类型：同步测试

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一、选择题

1. 若有点 $A (1 ， 0)$ ，点 $B (0 ， 3)$ ，则 $A B$ 的长度为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{13}$

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2. 如图，在平面直角坐标系中，点 $A (3 ， a)$ 是直线 $y = 2 x$ 与直线 $y = x + b$ 的交点，点B是直线 $y = x + b$ 与y轴的交点，点P是x轴上的一个动点，连接PA，PB，则 $P A + P B$ 的最小值是（）

A、6 B、 $3 \sqrt{5}$ C、9 D、 $3 \sqrt{10}$

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3. 在平面直角坐标系中，点A（4，0），点B（0，6），则点A，B之间的距离是（）

A、2 $\sqrt{6}$ B、2 $\sqrt{13}$ C、3 $\sqrt{3}$ D、5

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4. 如图，直线y=x+2与反比例函 $y = \frac{k}{x}$ 的图象在第一象限交于点P.若 $O P = \sqrt{20}$ ，则k的值为（）

A、6 B、8 C、10 D、12

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5. 如图，点P是平面直角坐标系中一点，则点P到原点O的距离是（）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{5}$

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6. 如图，直线 $y = k x - 3 (k \neq 0)$ 与坐标轴分别交于点 $B ， C$ ，与若双曲线 $y = - \frac{2}{x} (x < 0)$ 交于点 $A (m ， 1)$ ，则 $A B$ 为（）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{13}$ C、 $2 \sqrt{13}$ D、 $\sqrt{26}$

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7. 如图，若点 $A (1 ， 2)$ ，点 $B (- 2 ， - 1)$ ，在x轴上找一点P，使 $| P A - P B |$ 最小，则点P坐标为（）

A、（－5，0） B、（－1，0） C、（0，0） D、（1，0）

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8. 已知： $a$ 、 $b$ 是正数，且 $a + b = 2$ ，则 $\sqrt{a^{2} + 1} + \sqrt{b^{2} + 4}$ 的最小值是（）

A、 $\sqrt{13}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{2} + \sqrt{5}$ D、 $\sqrt{7}$

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二、填空题

9. 如图，A，B是反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 图象上两点， $C (- 2 ， 0)$ ， $D (4 ， 0)$ ， $△ A C O ≌ △ O D B$ ，则 $k =$ ．

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10. 如图，在平面直角坐标系中， $A (- 1 ， 2)$ ， $B (1 ， 0)$ ，P是x轴上动点，连结 $A P$ ，将线段 $A P$ 绕点A逆时针旋转 $90 °$ 得到线段 $A Q$ ，连结 $P Q$ ，取 $P Q$ 中点为M. $∠ A B P$ 的度数为， $A M + B M$ 的最小值为.

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11. 如图，在平面直角坐标系中，长为3的线段 $C D$ （点D在点C右侧）在x轴上移动，点 $A (0 ， 2)$ 、 $B (0 ， 4)$ 是y轴上定点，连接 $A C 、 B D$ ，则 $A C + B D$ 的最小值为.

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12. 如图，在边长为4的等边 $△ A B C$ 中，D，E分别为 $A B$ ， $B C$ 的中点，连接 $D E$ ， F为 $D E$ 的中点，连接 $A F$ ，则 $A F$ 的长为．

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13. 如图，某建筑公司有A(1，3)，B(3，3)，C(5，3)三个建筑工地，三个工地的水泥日用量分别为a吨，b吨，c吨．有M(1，5)，N(3，1)两个原料库供应水泥．使用一辆载重量大于(a+b+c)吨的运输车可沿图中虚线所示的道路运送水泥．为节约运输成本，公司要进行运输路线规划，使总的“吨千米数”（吨数×运输路程千米数）最小．若公司安排一辆装有(a+c)吨的运输车向A和C工地运送当日所需的水泥，且a>c，为使总的“吨千米数”最小，则应从原料库（填“M”或“N”）装运；若公司计划从N原料库安排一辆装有(a+b+c)吨的运输车向A，B，C三个工地运送当日所需的水泥，且a：b：c=3：2：1，为使总的“吨千米数”最小，写出向三个工地运送水泥的顺序（按运送的先后顺序依次排列即可）．

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三、解答题

14. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中有 $A ， B ， C ， D$ 四点，其中 $A (- 4 ， 4) ， B (4 ， 4)$ ， $C (- 2 ， - 1) ， D (2 ， - 1)$ .

（Ⅰ）在下图中描出 $A ， B ， C ， D$ 四点，再连接 $A B ， C D$ ；

（II）直接写出线段 $A B$ 与线段 $C D$ 的位置关系；

（Ⅲ）若 $A B$ 与 $y$ 轴交于点 $M ， C D$ 与 $y$ 轴交于点 $N$ ，在线段 $M N$ 上是否存在一点 $P$ ，使得三角形 $A B P$ 与三角形 $C D P$ 的面积相等.若存在，求点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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四、作图题

15. 按要求完成作图：

(1)、作出 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴对称的图形 $△ D E F$ ；

(2)、在 $x$ 轴上找一点 $M$ ，使得MA+MB的值最小，最小为多少？

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五、综合题

16. 设两个点A、B的坐标分别为 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ ，则线段AB的长度为： $A B = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}}$ .举例如下：A、B两点的坐标是 $(0 ， - 3)$ ， $(1 ， - 4)$ ，则A、B两点之间的距离 $A B = \sqrt{{(0 - 1)}^{2} + {[- 3 - (- 4)]}^{2}} = \sqrt{2}$ .请利用上述知识解决下列问题：

(1)、若 $A (1 ， 2)$ ， $B (x ， 6)$ ，且 $A B = 5$ ，求x的值；

(2)、已知△ABC，点A为 $(- 1 ， 5)$ 、点B为 $(- 5 ， 2)$ 、点C为 $(- 3 ， 1)$ ，求△ABC的面积；

(3)、求代数式 $\sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{{(12 - x)}^{2} + 9}$ 的最小值.

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17. 先阅读下列一段文字，再解答问题.已知在平面内有两点P₁（ $x_{1}$ ， $y_{1}$ ），P₂（ $x_{2}$ ， $y_{2}$ ），其两点间的距离公式为 $p_{1} p_{2} = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$ ，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为 $| x_{2} - x_{1} |$ 或 $| y_{2} - y_{1} |$ .

(1)、已知点A（7，3），B（2， $- 9$ ），试求A，B两点间的距离；

(2)、已知点A，B在平行于 $x$ 轴的直线上，点A的横坐标为6，点B的横坐标为 $- 2$ ，试求A，B两点间的距离；

(3)、应用平面内两点间的距离公式，求代数式 $\sqrt{x^{2} + {(y + 1)}^{2}} + \sqrt{{(x + 6)}^{2} + {(y - 7)}^{2}}$ 的最小值.

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2023-2024学年初中数学八年级上册 19.10 两点的距离公式 同步分层训练培优卷(沪教版五四制)

一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、作图题

五、综合题

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