2023-2024学年北师大版数学九年级上册2.6应用一元二次方程（提升卷）

试卷更新日期：2023-07-29 类型：同步测试

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一、选择题

1. 受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势.已知某地92号汽油价格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升.设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为 $x$ ，根据题意列出方程，正确的是（）

A、 $6.2 {(1 + x)}^{2} = 8.9$ B、 $8.9 {(1 + x)}^{2} = 6.2$ C、 $6.2 (1 + x^{2}) = 8.9$ D、 $6.2 (1 + x) + 6.2 {(1 + x)}^{2} = 8.9$

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2. 新冠肺炎是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有64人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列列式正确的是（）

A、 $x + x (1 + x) = 64$ B、 $1 + x + x^{2} = 64$ C、 $(1 + x)^{2} = 64$ D、 $x (1 + x) = 64$

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3. 某市某鞋厂10月份的运动鞋产量为24万双，因销量较好，11月份、12月份均增大产量，使第四季度的总产量达到88万双设该厂11、12月份的运动鞋产量的月平均增长率为x，根据题意可列方程为（）

A、 $88 {(1 + x)}^{2} = 24$ B、 $88 {(1 - x)}^{2} = 24$ C、 $24 {(1 + x)}^{2} = 88$ D、 $24 + 24 (1 + x) + 24 {(1 + x)}^{2} = 88$

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4. 某超市购进一批商品，单价40元．经市场调查，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量减少10个，因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，超市若将准备获利2000元，则定价为多少元？（）

A、50 B、60 C、50或60 D、100

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5. 王阿姨的水果店以4元/千克的价格购入了一批苹果，再以6元/千克的价格出售，每天可售出200千克，为了促销，王阿姨决定降价销售，销售过程中发现，这种苹果每降价0.2元/千克，每天可多售出20千克，另外，每天的房租等固定成本为50元，若王阿姨每天要想盈利250元，设应将每千克苹果的售价降低x元，则以下方程正确的为（）

A、 $(6 - x) (200 + 20 \times \frac{x}{0.2}) - 50 = 250$ B、 $(6 - x - 4) (200 + 20 \times \frac{x}{0.2}) - 50 = 250$ C、 $(6 - x - 4) (200 + 20 \times \frac{x}{0.2}) = 250$ D、 $(6 - x - 4) (200 + 20 x) - 50 = 250$

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6. 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都只赛一场），计划安排15场比赛，如果设邀请 $x$ 个球队参加比赛，那么根据题意可以列方程为（）

A、 $2 x = 15$ B、 $x (x + 1) = 15$ C、 $x (x - 1) = 15$ D、 $\frac{x (x - 1)}{2} = 15$

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7. 某公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元，求该公司这两年缴税的年平均增长率为多少．设该公司这两年缴税的年平均增长率为x，根据题意，下列所列的方程正确的是（）

A、 $40 {(1 + x)}^{2} = 48.4$ B、 $40 (1 + x^{2}) = 48.4$ C、 $48.4 {(1 - x)}^{2} = 40$ D、 $40 + 40 (1 + x) + 40 {(1 + x)}^{2} = 48.4$

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8. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程得（）

A、2（x+1）＝121 B、x+x（1+x）＝121 C、1+x+x（1+x）＝121 D、1+（1+x）²＝121

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9. 如图，某广场有一块圆形的花圃，中间有一个正方形的水池，测量出除水池外圆内可种植面积是120m² ，从水池边到圆周，每边都相距4m，设正方形的边长为xm，则可列出的方程是（）

A、 ${(x + 4)}^{2} - x^{2} = 120$ B、 $π {(x + 4)}^{2} - x^{2} = 120$ C、 $π {(\frac{x}{2} + 4)}^{2} - x^{2} = 120$ D、 ${(\frac{x}{2} + 4)}^{2} - x^{2} = 120$

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10. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，设每个支干长出x个小分支，则下列方程中正确的是（）

A、 $1 + x^{2} = 43$ B、 $1 + x + x^{2} = 43$ C、 $x + x^{2} = 43$ D、 ${(1 + x)}^{2} = 43$

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二、填空题

11. 如图所示，在一幅长 $50 c m$ 、宽 $30 c m$ 的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图如图所示，如果要使整个矩形挂图的面积是 $3036 c m^{2}$ ，则金色纸边的宽为 cm.

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12. 我市某新能源汽车因物美价廉而深受大众喜爱，在某地区的销售量从1月份的100辆增长到3月份的121辆，则从1月份到3月份的月平均增长率为.

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13. 如图，李大斧要建一个矩形羊圈，羊圈的一边利用长为 $12 m$ 的住房墙，另外三边用 $25 m$ 长的彩钢围成，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留了一扇 $1 m$ 宽的门．若要使羊圈的面积为 $80 m^{2}$ ，则所围矩形与墙垂直的一边长为 $m$ ．

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14. 方程x²-6x+8＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形周长是．

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15. 有1个人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，那么平均每轮传染人.

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三、综合题

16. 在“文化宜昌•全民阅读”活动中，某中学社团“精一读书社”对全校学生的人数及纸质图书阅读量（单位：本）进行了调查，2012年全校有1000名学生，2013年全校学生人数比2012年增加10%，2014年全校学生人数比2013年增加100人．

(1)、求2014年全校学生人数；

(2)、2013年全校学生人均阅读量比2012年多1本，阅读总量比2012年增加1700本（注：阅读总量=人均阅读量×人数）
①求2012年全校学生人均阅读量；
②2012年读书社人均阅读量是全校学生人均阅读量的2.5倍，如果2012年、2014年这两年读书社人均阅读量都比前一年增长一个相同的百分数a，2014年全校学生人均阅读量比2012年增加的百分数也是a，那么2014年读书社全部80名成员的阅读总量将达到全校学生阅读总量的25%，求a的值．

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17. R₀ ，也叫基本传染数，或者基本再生数，英文为Basicreproductionnumber.更确切的定义是：在没有外力介入，所有人都没有免疫力的情况下，一个感染某种传染病的人，总共会传染给其他多少个人的平均数.例如：有1人感染新型冠状病毒，若R₀＝3.50，则经两轮传染后感染新型冠状病毒的人数为：1+1×3.50+1×3.50×3.50≈17（人）.时下人心惶惶的新型冠状病毒的基本传染数据估计为3.30到5.40之间.请解答下列问题：

(1)、若现有10人感染新型冠状病毒，则经历两轮传染后，感染新型冠状病毒的人数大约在什么范围内（直接写出结果，结果保留整数）？

(2)、最近，新型冠状病毒变异出德尔塔毒株，德尔塔变异病毒的R₀值极高.若1人患病，在无任何外力影响下经历两轮传染后共有73人感染.
①求德尔塔变异病毒的R₀值；

②国家研制出新冠疫苗后发现，通过接种疫苗可以使得R₀值随接种人数比例的增高同步降低.例如，当疫苗全民接种率达到40%时，此时的R₀值为：R₀（1﹣40%）＝0.6R₀.若有1人感染德尔塔变异病毒，要在两轮内将总感染人数控制在7人以内，再加以隔离等措施的干涉，就可控制住疫情，则全民接种率至少应该达到多少？

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18. 如图所示，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm.

(1)、点 P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.如果P、Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由.

(2)、若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点 Q沿射线 CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P、Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm²？

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19. 健康食品越来越受到人们的青睐，某公司在2016年推出 $A, B$ 两种健康食品套餐，到年底共卖出m万份，其中A套餐卖出a万份，两种套餐共获利润 $1500$ 万元、已知销售一份A套餐可获利润 $20$ 元，销售一份B套餐可获利润 $45$ 元.

(1)、用含a的代数式表示m；

(2)、随着市场需求不断变化，经营策略也随之调整.2017年，该公司将每份B套餐的利润增加到 $100$ 元，每份A套餐的利润不变.经核算，两种套餐在这一年的销售总量与2016年相同，其中A套餐的销售量增加 $\frac{1}{3}$ ，两种套餐的总利润增加 $760$ 万元.
①求2017年每种套餐的销售量；

②由于B套餐的需求量逐年上涨，而原材料供应不足，因此，2018年该公司将每份B套餐的利润在2017年的基础上增加 $x %$ ，2019年在2018年的基础上又增加 $2 x %$ 、若B套餐在近三年销售量不变的情况下，仅2019年一年就获利 $2856$ 万元，求x的值.

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20. 对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如： $k = 169$ ，因为 $6^{2} = 4 \times 1 \times 9$ ，所以169是“喜鹊数”．

(1)、已知一个“喜鹊数” $k = 100 a + 10 b + c$ （ $1 \leq a 、 b 、 c \leq 9$ ，其中a，b，c为正整数），请直接写出a，b，c所满足的关系式；判断241 “喜鹊数”（填“是”或“不是”）；

(2)、利用（1）中“喜鹊数”k中的a，b，c构造两个一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ ①与 $c x^{2} + b x + a = 0$ ②，若 $x = m$ 是方程①的一个根， $x = n$ 是方程②的一个根，求m与n满足的关系式；

(3)、在（2）中条件下，且 $m + n = - 2$ ，请直接写出满足条件的所有k的值．

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