2023-2024学年北师大版数学九年级上册2.5一元二次方程的根与系数的关系（培优卷）

试卷更新日期：2023-07-29 类型：同步测试

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一、选择题

1. 已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + (2 m - 1) x + m^{2} + 3 = 0$ 的根，则m等于（）

A、 $- 3$ B、 $5$ C、 $5 或 - 3$ D、 $- 5 或 3$

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2. 规定：如果关于x的一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”现有下列结论
①方程x²+2x﹣8＝0是倍根方程；②若关于x的方程x²+ax+2＝0是倍根方程，则a＝±3；③若（x﹣3）（mx﹣n）＝0是倍根方程，则n＝6m或3n＝2m；④若点（m，n）在反比例函数y＝ $\frac{2}{x}$ 的图象上，则关于x的方程mx²﹣3x+n＝0是倍根方程.上述结论中正确的有（）

A、② B、①③ C、②③④ D、②④

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3. 关于x的一元二次方程 $x^{2} + 2 m x + 2 n = 0$ 有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程 $y^{2} + 2 n y + 2 m = 0$ 同样也有两个整数根且乘积为正．给出四个结论：①这两个方程的根都是负根；② ${(m - 1)}^{2} + {(n - 1)}^{2} \geq 2$ ；③ $- 1 \leq 2 m - 2 n \leq 1$ ．其中正确结论的个数是（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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4. 已知α，β是方程x²+2014x+1=0的两个根，则（1+2016α+α²）（1+2016β+β²）的值为（　　）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 若α、β是方程x²+2x﹣2007=0的两个实数根，则α²+3α+β的值（　　）

A、2007 B、2005 C、﹣2007 D、4010

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6. 如果关于x的一元二次方程x²﹣4|a|x+4a²﹣1=0的一个根是5，则方程的另一个根是（　　）

A、1 B、5 C、7 D、3或7

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7. 已知函数 $y = 4 x^{2} - 4 x + m$ 的图像与x轴的交点坐标为 $(x_{1} ， 0)$ $(x_{2} ， 0)$ 且 $(x_{1} + x_{2}) (4 x_{1}^{2} - 5 x_{1} - x_{2}) = 8$ ，则该函数的最小值是（）

A、2 B、-2 C、10 D、-10

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8. 若一个矩形的长和宽是关于 $x$ 的方程 $2 x^{2} - 8 x + m = 0$ 的两根，则该矩形的周长为（）

A、8 B、6 C、4 D、2

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9. 已知 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是方程 $x^{2} - x - 10 = 0$ 的两个实根，则 ${x_{1}}^{3} - 10 x_{1} + x_{2}$ 的值为（）

A、9 B、10 C、11 D、21

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10. 直角三角形两直角边是方程 $x^{2} - 8 x + 14 = 0$ 的两根，则它的斜边为（）

A、8 B、7 C、6 D、 $2 \sqrt{7}$

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二、填空题

11. 已知 $x_{1} ， x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2} - 3 x - 2 = 0$ 的两根，则 $\frac{2}{x_{1}} + \frac{2}{x_{2}} =$ .

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12. 已知α，β是方程 $x^{2} + 2 x - 2022 = 0$ 的实数根，求 $α^{2} + α β + 2 α$ 的值为

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13. 关于x的方程 $x^{2} - m x - 3 = 0$ 的一个根是 $x_{1} = 3$ ，则它的另一个根 $x_{2} =$ ．

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14. 若方程 $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ 的根也是方程 $x^{4} + a x^{2} + b x + c = 0$ 的根，则 $a + b + 2 c =$ .

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15. 若关于x的方程（x﹣4）（x²﹣6x+m）＝0的三个根恰好可以组成某直角三角形的三边长，则m的值为．

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三、计算题

16. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + c x + a = 0$ 的两个整数根恰好比方程 $x^{2} + a x + b = 0$ 的两个根都大1，求 $a + b + c$ 的值.

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四、综合题

17. 已知关于x的方程 $x^{2} - (k + 1) x + \frac{1}{4} k^{2} + 1 = 0$ ．

(1)、若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；

(2)、若方程的两根 $x_{1} ， x_{2}$ 恰好是一个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为 $\sqrt{5}$ ，求k．

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18. 已知 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 是关于x的一元二次方程 $x^{2} - (2 m + 4) x + m^{2} = 0$ 的两个实数根．

(1)、当 $m = 0$ 时，求方程的根；

(2)、若 $(x_{1} - 2) (x_{2} - 2) = 8$ ，求 $m$ 的值；

(3)、若等腰 $△ A B C$ 的腰长为9， $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 恰好是 $△ A B C$ 另外两边的长，求这个等腰三角形的周长．

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19. 已知方程 $a (2 x + a) = x (1 - x)$ 的两个实数根为 $x_{1} ， x_{2}$ ，设 $S = \sqrt{x_{1}} + \sqrt{x_{2}}$ ．

(1)、当 $a = - 2$ 时，求S的值；

(2)、当a取什么整数时，S的值为1；

(3)、是否存在负数a，使 $S^{2}$ 的值不小于25？若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

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20. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的两个根分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，利用一元二次方程的求根公式可得： $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ ， $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ ，利用上述结论来解答下列问题：

(1)、已知 $2 x^{2} - x - 1 = 0$ 的两个根为 $m$ ， $n$ ，则 $m + n =$ ， $m n =$ ；

(2)、已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (k - 1) x - k + 2 = 0$ 有两个实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，若 $(x_{1} + x_{2} + 2) (x_{1} + x_{2} - 2) + 2 x_{1} x_{2} = - 2$ ，求 $k$ 的值.

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