2023-2024学年北师大版数学九年级上册2.5一元二次方程根与系数的关系（提升卷）

试卷更新日期：2023-07-29 类型：同步测试

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一、选择题

1. 设 $a ， b$ 是方程 $x^{2} + x - 2020 = 0$ 的两个实数根，则 $(a - 1) (b - 1)$ 的值为（）

A、 $- 2022$ B、2018 C、 $- 2018$ D、2022

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2. 关于x的一元二次方程 $x^{2} + b x + c = 0$ 的两个实数根分别为1和-1，则 $b^{2} - c^{2}$ 的值为（）.

A、-1 B、1 C、2 D、-2

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3. 已知方程 $x^{2} + 2019 x - 3 = 0$ 的两根分别是 $α$ 和 $β$ ，则代数式 $α^{2} + α β + 2019 α$ 的值为（）

A、1 B、0 C、2019 D、-2019

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4. 若一元二次方程 $x^{2} - 4 x - 6 = 0$ 有两实数根 $x_{1}$ 和 $x_{2} ，$ 下列选项正确的是（）

A、 $x_{1} = x_{2}$ B、 $x_{1} + x_{2} = - 4$ C、 $x_{1} x_{2} = - 6$ D、 $x_{1} + x_{2} - x_{1} x_{2} = - 2$

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5. 设x₁ ， x₂是一元二次方程x²+x-3＝0的两根，则x₁³-4x₂²+20等于（）

A、1 B、5 C、11 D、13

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6. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - m x - 2 = 0$ 有两个实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，若 $3 x_{1} + 3 x_{2} - x_{1} x_{2} = 5$ ，则 $m$ 的值为（）

A、1 B、-1 C、2 D、-2

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7. 设方程 $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ 的两根分别是 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} =$ （）

A、-3 B、2 C、-2 D、3

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8. 若方程 $x^{2} - 2 x - 4 = 0$ 的两个实数根为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，则 $(x_{1} - 1) (x_{2} - 1)$ 的值为（）

A、7 B、3 C、－5 D、9

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9. 已知 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2} + (2 m + 1) x + m^{2} - 1 = 0$ 的两不相等的实数根，且 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{1} x_{2} - 17 = 0$ ，则 $m$ 的值是（）

A、 $\frac{5}{3}$ 或-3 B、-3 C、 $\frac{5}{3}$ D、 $- \frac{5}{3}$

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10. 下列一元二次方程两根之和为2的方程为（）

A、 $x^{2} - 2 x + 3 = 0$ B、 $2 x^{2} + 4 x - 1 = 0$ C、 $3 x^{2} - 6 x + 2 = 0$ D、 $x^{2} - 3 x + 2 = 0$

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二、填空题

11. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + (2 m + 1) x + m - 2 = 0$ 有两个实数根 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，且 $x_{1} + x_{2} + x_{1} x_{2} = 1$ ，则 $m =$ .

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12. 若m，n是一元二次方程 $x^{2} - 4 x + 2 = 0$ 的两实根，则 $m - m n + n$ 的值为．

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13. 关于x的一元二次方程 $x^{2} + (2 k + 1) x + k^{2} = 0$ 有两个不相等的实数根.设方程的两个实数根分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $(1 + x_{1}) (1 + x_{2}) = 3$ ，则k的值是.

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14. 已知一元二次方程x²–6x–5=0两根为a、b，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的值是

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15. 若m，n是一元二次方程 $x^{2} + 2022 x - 2023 = 0$ 的两个实数根，则 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} =$ ．

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三、计算题

16. 先化简，再求值： $\frac{b^{2} - a^{2}}{a^{2} - a b} \div (a + \frac{2 a b + b^{2}}{a}) \cdot (\frac{1}{a} + \frac{1}{b})$ ，其中a，b是方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的两个根.

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17. 已知x₁ ， x₂是一元二次方程x²－3x－1＝0的两根，不解方程求下列各式的值：

(1)、 $x_{1}^{2} + x_{1}^{2}$

(2)、 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}$

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18. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} + (m + 1) x + \frac{1}{4} m^{2} - 2 = 0$ .

(1)、若此方程有两个实数根，求m的最小整数值；

(2)、若此方程的两个实数根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且满足 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{1} x_{2} = 18 - \frac{1}{4} m^{2}$ ，求m的值.

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19. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + (2 k + 1) x + k^{2} + 1 = 0$ 有两个不等实根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ .

(1)、求实数 $k$ 的取值范围；

(2)、若方程两实根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 满足 $x_{1} + x_{2} = - x_{1} \cdot x_{2}$ ，求 $k$ 的值。

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20. 先化简，再求值：
（a+b）（a﹣b）+（a﹣b）²﹣（2a²﹣ab），其中a，b是一元二次方程x²+x﹣2=0的两个实数根．

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