2023-2024学年北师大版数学九年级上册2.3用公式法求解一元二次方程（培优卷）

试卷更新日期：2023-07-29 类型：同步测试

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一、选择题

1. 已知关于x的一元二次方程 $(p + 1) x^{2} + 2 q x + (p + 1) = 0$ （其中p，q为常数）有两个相等的实数根，则下列结论中，错误的是（）．

A、1可能是方程 $x^{2} + q x + p = 0$ 的根 B、 $- 1$ 可能是方程 $x^{2} + q x + p = 0$ 的根 C、0可能是方程 $x^{2} + q x + p = 0$ 的根 D、1和-1都是方程 $x^{2} + q x + p = 0$ 的根

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2. 对于一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0),$ 下列说法：①当 $b = a + c$ 时，则方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 一定有一根为 $x = - 1$ ；②若 $a b > 0 ， b c < 0 ，$ 则方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 一定有两个不相等的实数根；③若c是方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的一个根，则一定有 $a c + b + 1 = 0$ ；④若 $b = 2 a + 3 c$ ，则方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 有两个不相等的实数根．其中正确的是（）

A、①② B、①③ C、①②④ D、②③④

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3. 对于一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b²﹣4ac≥0；②若方程ax²+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax²+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax²+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x₀是一元二次方程ax²+bx+c＝0的根，则 $b^{2} - 4 a c = {(2 a x_{0} + b)}^{2}$ ；其中正确的（）

A、只有①② B、只有①②④ C、①②③④ D、只有①②③

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4. 已知关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 与 $c x^{2} + b x + a = 0$ ，下列判断错误的是（）

A、若方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 有两个实数根，则方程 $c x^{2} + b x + a = 0$ 也有两个实数根； B、如果m是方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的一个根，那么 $\frac{1}{m}$ 是 $c x^{2} + b x + a = 0$ 的一个根； C、如果方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 与 $c x^{2} + b x + a = 0$ 有一个根相等，那么这个根是1； D、如果方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 与 $c x^{2} + b x + a = 0$ 有一个根相等，那么这个根是1或-1.

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5. 设m是整数，关于x的方程mx²-（m-1）x+1=0有有理根，则方程的根为（）。

A、 $x_{1} = \frac{1}{2} ， x_{2} = \frac{1}{3}$ B、x=-1 C、 $x_{1} = - 1 ， x_{2} = \frac{1}{2} ， x_{3} = \frac{1}{3}$ D、有无数个根

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6. 已知 $△ A B C$ 的三边长为a，b，c，且满足方程a²x²-（c²-a²-b²）x+b²=0，则方程根的情况是（）。

A、有两相等实根 B、有两相异实根 C、无实根 D、不能确定

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7. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 3 x - 2 = 0$ ，下列说法正确的是（）

A、方程有两个相等的实数根 B、方程有两个不相等的实数根 C、方程没有实数根 D、方程的根为 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = - 2$

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8. 已知关于x的一元二次方程 $(k - 1) x^{2} - 2 x + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）.

A、 $k > 2$ B、 $k > 2$ 且 $k \neq 1$ C、k<2 D、 $k < 2$ 且 $k \neq 1$

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9. 从 $- 4$ ， $- 2$ ， $- 1$ ， 0，1，2，4，6这八个数中，随机抽一个数，记为a.若数a使关于x的一元二次方程 $x^{2} - 2 (a - 4) x + a^{2} = 0$ 有实数解.且关于y的分式方程 $\frac{y + a}{y - 1} - 3 = \frac{1}{1 - y}$ 有整数解，则符合条件的a的值的和是（）

A、 $- 6$ B、 $- 4$ C、 $- 2$ D、2

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10. 一元二次方程 $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ 的根的情况是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、有一个实数根 D、没有实数根

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二、填空题

11. 若一元二次方程 $x^{2} + m x + 2 = 0$ 有两个相等的实数根，则 $m$ 的值是.

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12. 若关于x的方程 $x^{2} - 4 x + k - 1$ 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．

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13. 关于x的一元二次方程 $x^{2} + 4 x - m = 0$ 有两个实数根，则实数m的取值范围是．

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14. 关于x的方程 $x^{2} - 2 x + m = p^{2}$ ，无论实数p取何值，该方程总有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为.

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15. 若是方程 $x^{2} - 2 m x + m^{2} - m - 1$ 的两个实数根，且，则 $m$ 的值为.

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三、计算题

16. 解方程：5x²+2x-1 =0.

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17. 解下列方程

(1)、x2-6x-16=0（配方法）；

(2)、 $2 x^{2} - 2 \sqrt{2} x + 1 = 0$ （公式法）．

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四、综合题

18. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} + 2 x + 2 m - 3 = 0$ 有两个不相等的实数根.

(1)、求m的取值范围；

(2)、若m为正整数，求此时方程的根.

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19. 已知关于x的方程x²-4x+3a-1＝0有两个实数根.

(1)、求实数a的取值范围；

(2)、若a为正整数，求方程的根.

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20.

(1)、解方程： $x^{2} - 10 x + 9 = 0$ （配方法）；

(2)、解方程： $x (x - 2) = 5$ ；

(3)、关于x的一元二次方程 $a x^{2} - b x + 2 = 0 (a \neq 0)$ 有两个相等的实数根，请写出一组满足条件的a，b的值，并求出此时方程的根．

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