北师大版数学九年级上册同步练习—— 第四章《图形的相似》5.相似三角形判定定理的证明

试卷更新日期：2023-07-29 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图， $△ A B C$ 中， $C E$ 交 $A B$ 于点 $D$ ， $∠ A = ∠ E$ ， $A D ： D B = 2 ： 3$ ， $A B = 10$ ， $E D = 5$ ，则 $D C$ 的长等于（）

A、 $\frac{24}{5}$ B、 $\frac{6}{5}$ C、 $\frac{10}{3}$ D、 $\frac{15}{2}$

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2. 如图， $D ， E$ 是 $△ A B C$ 边 $A B ， A C$ 边上的两点，且 $D E ∥ B C$ ，若 $S_{△ A D E} ： S_{△ A B C} = 1 ： 16$ ，则 $△ A D E$ 与 $△ A B C$ 的周长之比为（）

A、 $1 ： 2$ B、 $1 ： 4$ C、 $1 ： 5$ D、 $1 ： 16$

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3. 如图，等腰三角形 $A B C$ 中， $A B = A C = 8$ ， $B C = 4$ ， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ，则 $A D =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{8}{3}$ D、 $\frac{16}{3}$

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4. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为 $2$ ，延长 $C B$ 至点 $E$ ， $B E = 1$ ，连接 $D E$ 交 $A B$ 于点 $G$ ，连接 $A E$ ，并取 $A E$ 的中点 $F$ ，连接 $F G$ 并延长交 $B C$ 于点 $H$ ．则 $F H =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{13}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{13}}{4}$

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5. 如图，在直角坐标系中，已知点 $A (0 ， 2) ， B (- 2 ， 0) ， C (1 ， 0)$ ，将 $△ A B C$ 沿着 $x$ 轴正方向平移，使点 $B$ 平移至原点 $O$ ，得到 $△ D O E ， O D$ 交 $A C$ 于点 $F$ ，则 $O F$ 的长为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、1

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6. 如图，将矩形 $A B C D$ 沿 $A E$ 折叠，使点 $B$ 落在边 $C D$ 上点 $F$ 处，若 $A D = 8 c m$ ， $C E = 3 c m$ ，则边 $A B$ 的长为（）

A、 $8 c m$ B、 $9 c m$ C、 $10 c m$ D、 $11 c m$

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7. 如图，点 $D$ ， $E$ 都是 $△ A B C$ 边上的点， $D E / / A C$ ， $A E$ 交 $D C$ 于点 $F$ ，若 $\frac{S_{△ D E F}}{S_{△ A C F}} = \frac{1}{9}$ ，则 $B E$ ： $B C$ 的值是（）

A、1：5 B、1：4 C、1：3 D、1：2

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ ， $E$ 分别是 $A B$ ， $A C$ 的中点，若 $S_{△ A D E} = 3$ ，则 $S_{△ A B C} =$ （）

A、3 B、6 C、9 D、12

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9. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，将 $△ A B C$ 绕着点A逆时针方向旋转到 $△ A E F$ 的位置，点E恰好落在边BC上，EF与CD交于点M，AB＝6，AD＝8，BE＝2，则CM的长为（）

A、2 B、3 C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{9}{4}$

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二、填空题

10. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ，将 $A C$ 绕着点C按顺时针旋转 $60 °$ 得到 $C D$ ，连接BD交 $A C$ 于在E，则 $\frac{A E}{E D} =$ ．

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11. 如图，一束光线从点 $A (- 2 ， 5)$ 出发，经过y轴上的点 $B (0 ， 1)$ 反射后经过点 $C (m ， n)$ ，则 $2 m - n$ 的值是．

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12. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，E为 $A B$ 的中点， $D E$ 交 $A C$ 于F，若 $A F = 60 c m$ ，则 $A C =$ $c m$ ．

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13. 如图，正方形ABCD的边长为5，E是边AD上的一动点，将正方形沿CE翻折，点 $D$ 的对应点为 $D^{^{'}}$ ，过点 $D^{^{'}}$ 作折痕CE的平行线，分别交正方形ABCD的边于点M，N（点M在点 $N$ 上方），若 $2 A M = C N$ ，则DE的长为.

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 10 ， B C = 6$ ，延长 $A B$ 至 $D$ ，使得 $B D = \frac{1}{2} A B$ ，点 $P$ 为动点，且 $P B = P C$ ，连接 $P D$ ，则 $P D$ 的最小值为．

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15. 在四边形 $A B C D$ 中， $∠ B C D = 90 ° ， A B = A C$ ，若 $B C = 4$ ， $A D = \sqrt{5} ， ∠ A D B = 2 ∠ C B D$ ，则 $A B$ 的长为．

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三、解答题

16. 下面是小芸同学证明定理时使用的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．

定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．已知：如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，点 $O$ 是 $A C$ 边的中点．

求证： $O B = \frac{1}{2} A C$ ．

方法一：

证明：延长 $B O$ 至 $D$ ，使 $O D = O B$ ，

连接 $A D$ ， $C D$ ．

方法二：

证明：过点 $O$ 作 $O D ⊥ B C$ 于点 $D$ ．

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17. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在边 $B C$ 上， $A F ⊥ D E$ ，垂足为F， $A D = 4$ ， $C E = 2$ ， $D E = 2 \sqrt{10}$ ，求 $D F$ 的长.

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18. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A E ⊥ B D$ 于点E，点P是边 $A D$ 上一点，且 $P E ⊥ E C$ ．求证： $A E \cdot A B = D E \cdot A P$ ．

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19. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A E$ 平分 $∠ B A C$ ， $E D ∥ C A$ .若 $B E = 5$ ， $E C = 6$ ， $A C = 10$ ，求 $A D$ 的长.

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20. 如图， $R t △ A B C$ 的直角顶点B在x轴正半轴上，斜边 $A C$ 在y轴上．线段 $O A$ 、 $O B$ 的长是方程 $x^{2} - 7 x + 12 = 0$ 的两个根．（ $O A < O B$ ）

(1)、求证： $△ A O B ∽ △ B O C$

(2)、求点C坐标

(3)、点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点A、B、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合题意的点N坐标；若不存在，请说明理由．

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21. 如图，点 $E$ 为 $▱ A B C D$ 的边 $B C$ 延长线上一点， $A E$ 与 $B D$ 交于点 $F$ ，与 $D C$ 交于点 $G$ .

(1)、求证： $Δ A B E ∼ Δ G D A$ ；

(2)、若 $B C = 2 C E ， B D = 15$ ，求 $D F$ 的长度.

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二、填空题

三、解答题

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