广东省历年（2019-2023年）中考数学真题分类汇编6 二次函数

试卷更新日期：2023-07-29 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + c$ 经过正方形 $O A B C$ 的三个顶点A，B，C，点B在 $y$ 轴上，则 $a c$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、 $- 2$ C、 $- 3$ D、 $- 4$

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2. 抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 经过点 $(- 1 ， 0)$ 、 $(3 ， 0)$ ，且与y轴交于点 $(0 ， - 5)$ ，则当 $x = 2$ 时，y的值为（）

A、-5 B、-3 C、-1 D、5

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3. 我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a ， b ， c ，记 $p = \frac{a + b + c}{2}$ ，则其面积 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式．若 $p = 5 ， c = 4$ ，则此三角形面积的最大值为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、4 C、 $2 \sqrt{5}$ D、5

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4. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + 1$ 的图象与一次函数 $y = 2 a x + b$ 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（-1，n），其部分图象如图所示，以下结论错误的是（）

A、 B、4ac-b²<0 C、3a+c＞0 D、ax²+bx+c=n+1无实数根

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6. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的对称轴是 $x = 1$ ．下列结论：① $a b c > 0$ ；② $b^{2} - 4 a c > 0$ ；③ $8 a + c < 0$ ；④ $5 a + b + 2 c > 0$ ，正确的有（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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7. 已知y=ax²+bx+c(a≠0)的图象如图，则y=ax+b和y= $\frac{c}{x}$ 的图象为（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

8. 把抛物线 $y = 2 x^{2} + 1$ 向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为．

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9. 对某条线段的长度进行了3次测量，得到3个结果（单位： $m m$ ）9.9，10.1，10.0，若用 $a$ 作为这条线段长度的近以值，当 $a =$ mm 时， ${(a - 9.9)}^{2} + {(a - 10.1)}^{2} + {(a - 10.0)}^{2}$ 最小．对另一条线段的长度进行了 $n$ 次测量，得到 $n$ 个结果（单位： $m m$ ） $x_{1} ， x_{2} ， \dots ， x_{n}$ ，若用 $x$ 作为这条线段长度的近似值，当 $x =$ $m m$ 时， ${(x - x_{1})}^{2} + {(x - x_{2})}^{2} + \dots + {(x - x_{n})}^{2}$ 最小．

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三、综合题

10. 蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它的出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD和抛物线AED构成，其中AB=3m，BC=4m，取BC中点O，过点O作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED于点E，若以O点为原点，BC所在直线为x轴，OE为y轴建立如图所示平面直角坐标系．

请回答下列问题：

(1)、如图，抛物线 $A E D$ 的顶点 $E (0 ， 4)$ ，求抛物线的解析式；

(2)、如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置 $L F G T$ ， $S M N R$ ，若 $F L = N R = 0.75 m$ ，求两个正方形装置的间距 $G M$ 的长；

(3)、如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为 $B K$ ，求 $B K$ 的长．

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11. 端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．

(1)、求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；

(2)、设猪肉粽每盒售价x元 $(50 \leq x \leq 65) ， y$ 表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润．

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12. 某科技公司销售高新科技产品，该产品成本为8万元，销售单价x（万元）与销售量y（件）的关系如下表所示：

x（万元）

10

12

14

16

y（件）

40

30

20

10

(1)、求y与x的函数关系式；

(2)、当销售单价为多少时，有最大利润，最大利润为多少？

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13. 平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $G ： y = a x^{2} + b x + c (0 < a < 12)$ 过点 $A (1 ， c - 5 a)$ ， $B (x_{1} ， 3)$ ， $C (x_{2} ， 3)$ ，顶点 $D$ 不在第一象限，线段 $B C$ 上有一点 $E$ ，设 $△ O B E$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ O C E$ 的面积为 $S_{2}$ ， $S_{1} = S_{2} + \frac{3}{2}$ ．

(1)、用含 $a$ 的式子表示 $b$ ；

(2)、求点 $E$ 的坐标；

(3)、若直线 $D E$ 与抛物线 $G$ 的另一个交点 $F$ 的横坐标为 $\frac{6}{a} + 3$ ，求 $y = a x^{2} + b x + c$ 在 $1 < x < 6$ 时的取值范围（用含 $a$ 的式子表示）．

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14. 如图，平面直角坐标系 $x O y$ 中， $▱ O A B C$ 的边 $O C$ 在 $x$ 轴上，对角线 $A C$ ， $O B$ 交于点 $M$ ，函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象经过点 $A (3 ， 4)$ 和点 $M$ ．

(1)、求 $k$ 的值和点 $M$ 的坐标；

(2)、求 $▱ O A B C$ 的周长．

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15. 如图，抛物线 $y = \frac{3 + \sqrt{3}}{6} x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $A$ ， $B$ 分别位于原点的左、右两侧， $B O = 3 A O = 3$ ，过点 $B$ 的直线与 $y$ 轴正半轴和抛物线的交点分别为 $C$ ， $D$ ， $B C = \sqrt{3} C D$ ．

(1)、求 $b$ ， $c$ 的值；

(2)、求直线 $B D$ 的函数解析式；

(3)、点 $P$ 在抛物线的对称轴上且在 $x$ 轴下方，点 $Q$ 在射线 $B A$ 上，当 $Δ A B D$ 与 $Δ B P Q$ 相似时，请直接写出所有满足条件的点 $Q$ 的坐标．

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16. 随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座。

(1)、计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？；

(2)、按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率。

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17. 已知抛物线 $y = x^{2} - (m + 1) x + 2 m + 3$

(1)、当 $m = 0$ 时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上；

(2)、该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；

(3)、已知点 $E (- 1 ， - 1)$ 、 $F (3 ， 7)$ ，若该抛物线与线段EF只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围．

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18. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象过点 $(- 1 ， 0)$ ，且对任意实数x ，都有 $4 x - 12 \leq a x^{2} + b x + c \leq 2 x^{2} - 8 x + 6$ ．

(1)、求该二次函数的解析式；

(2)、若（1）中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A ，与y轴交点为C；点M是（1）中二次函数图象上的动点．问在x轴上是否存在点N ，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．

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19. 如图1，抛物线y=ax²+bx+3（a≠0）与x轴交于A（-3，0）和B（1，0），与y轴交于点C，顶点为D．

(1)、求解抛物线解析式；

(2)、连接AD，CD，BC，将△OBC沿着x轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，得到 $Δ O^{'} B^{'} C^{'}$ ，点O、B、C的对应点分别为点 $O^{'}$ ， $B^{'}$ ， $C^{'}$ ，设平移时间为t秒，当点O'与点A重合时停止移动．记 $Δ O^{'} B^{'} C^{'}$ 与四边形AOCD的重叠部分的面积为S，请直接写出S与时间t的函数解析式；

(3)、如图2，过抛物线上任意一点M（m，n）向直线l： $y = \frac{9}{2}$ 作垂线，垂足为E，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得ME-MF= $\frac{1}{4}$ ？若存在，请求F点的坐标；若不存在，请说明理由．

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20. 如图抛物线经y=ax²+bx+c过点A（-1，0），点C(0，3），且OB=OC．

(1)、求抛物线的解析式及其对称轴；

(2)、点D、E在直线x=1上的两个动点，且DE=1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值；

(3)、点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形APBC面积分为3：5两部分，求点P的坐标．

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21. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = \frac{\sqrt{3}}{8} x^{2} + \frac{3 \sqrt{3}}{4} x - \frac{7 \sqrt{3}}{8}$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ 、 $B$ （点 $A$ 在点 $B$ 右侧），点 $D$ 为抛物线的顶点.点 $C$ 在 $y$ 轴的正半轴上， $C D$ 交 $x$ 轴于点 $F$ ， $Δ C A D$ 绕点 $C$ 顺时针旋转得到 $Δ C F E$ ，点 $A$ 恰好旋转到点 $F$ ，连接 $B E$ .

(1)、求点 $A$ 、 $B$ 、 $D$ 的坐标；

(2)、求证：四边形 $B F C E$ 是平行四边形；

(3)、如图2，过顶点 $D$ 作 $D D_{1} ⊥ x$ 轴于点 $D_{1}$ ，点 $P$ 是抛物线上一动点，过点 $P$ 作 $P M ⊥ x$ 轴，点 $M$ 为垂足，使得 $Δ P A M$ 与 $Δ D D_{1} A$ 相似（不含全等）.
①求出一个满足以上条件的点 $P$ 的横坐标；

②直接回答这样的点 $P$ 共有几个？

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22. 已知抛物线G： $y = m x^{2} - 2 m x - 3$ 有最低点。

(1)、求二次函数 $y = m x^{2} - 2 m x - 3$ 的最小值（用含m的式子表示）；

(2)、将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G₁_。经过探究发现，随着m的变化，抛物线G₁顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(3)、记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图像交于点P，结合图像，求点P的纵坐标的取值范围.

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x（万元）	10	12	14	16
y（件）	40	30	20	10