2023-2024学年初中数学八年级上册 19.2 证明举例同步分层训练培优卷(沪教版五四制)

试卷更新日期：2023-07-28 类型：同步测试

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一、选择题

1. 甲、乙、丙3人从图书馆各借了一本书（如下表所示），他们相约在每个星期天相互交换读完的书，经过数次交换后，他们都读完了这3本书．已知甲读的第三本书是乙读的第二本书，则丙读的第二本书是（）
甲
乙
丙
书A
书B
书C

A、书A B、书B C、书C D、无法确定

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2. 用反证法求证：三角形中最多有一个钝角．下列假设正确的是（）

A、假设三角形中至少有两个钝角 B、假设三角形中最多有两个钝角 C、假设三角形中最少有一个钝角 D、假设三角形中没有钝角

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3. 李明、王华、周亮和张红四名同学参加了“华罗庚杯”竞赛选拔赛，王华和张红两个同学的得分和等于周亮和李明的得分和；李明与王华的得分和大于周亮和张红的得分和，张红的得分超过周亮与王华的得分和，则这四位同学的得分由大到小的顺序是（）

A、李明，张红，周亮，王华 B、李明，张红，王华，周亮 C、张红，李明，周亮，王华 D、张红，李明，王华，周亮

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4. 阅读下列材料，其中①～④步数学依据错误的是（）
如图：已知直线 $b ∥ c$ ， a⊥b，求证： $a ⊥ c$ ．

证明：∵ $a ⊥ b$ （已知），

∴ $∠ 1 = 90 °$ （①垂直的定义）．

∵ $b ∥ c$ （已知），

∴ $∠ 1 = ∠ 2$ （②两直线平行，同位角相等），

∴ $∠ 2 = ∠ 1 = 90 °$ （③同角的余角相等），

∴ $a ⊥ c$ （④垂直的定义）．

A、① B、② C、③ D、④

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5. 嘉淇在证明“平行于同一条直线的两条直线平行”时，给出了如下推理过程：
已知：如图，b∥a，c∥a，求证：b∥c；
证明：作直线DF交直线a、b、c分
别于点D、E、F，
∵a∥b，∴∠1＝∠4，又∵a∥c，
∴∠1＝∠5，
∴b∥c．
小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∴∠1＝∠5”和“∴b∥c”之间作补充，下列说法正确的是（）

A、嘉淇的推理严谨，不需要补充 B、应补充∠2＝∠5 C、应补充∠3+∠5＝180° D、应补充∠4＝∠5

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6. 桌子上有6只杯口朝上的茶杯，每次翻转其中的4只，经过 $n$ 次翻转可使这6只杯子的杯口全部朝下，则 $n$ 的最小值为（）

A、 $2$ B、 $3$ C、 $4$ D、 $5$

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7. 若要运用反证法证明“若 $a > b > 0$ ，则 $\sqrt{a} < \sqrt{b}$ ”，首先应该假设（）

A、 $\sqrt{a} < \sqrt{b}$ B、 $\sqrt{a} - \sqrt{b}$ C、 $a < b$ D、 $\sqrt{a} \geq \sqrt{b}$

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8. 如图， $A B / / C D$ ， $F$ 为 $A B$ 上一点， $F D / / E H$ ，且 $F E$ 平分 $∠ A F G$ ，过点 $F$ 作 $F G ⊥ E H$ 于点 $G$ ，且 $∠ A F G = 2 ∠ D$ ，则下列结论：
① $∠ D = 30 °$ ；② $2 ∠ D + ∠ E H C = 90 °$ ；③ $F D$ 平分 $∠ H F B$ ；④ $F H$ 平分 $∠ G F D$ ．其中正确的是（）

A、①② B、①②③ C、②③④ D、①②③④

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二、填空题

9. 用反证法证明：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等，证明时，可以先假设：．

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10. 反证法证明命题“同旁内角不互补的两条直线不平行”时，应先假设.

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11. 金乡县某中学七年级共有四个班，每班各选5名同学组成一个代表队，这四支代表队（分别用A，B，C，D表示）进行数学知识应用竞赛，前三名将参加金乡县数学知识竞赛，甲，乙，丙三位同学预测的结果分别为：甲：C得亚军；D得季军；乙：D得冠军；A得亚军；丙：C得冠军；B得亚军．已知每人的预测都是半句正确，半句错误，则冠，亚，季，殿军分别为．

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12. “爆竹声中一岁除，春风送暖入屠苏.千门万户曈曈日，总把新桃换旧符.”春节将至，置办年货是中国寻常百姓家不可或缺的大事.小明随妈妈去置办年货，购买了灯笼、窗花、坚果，其中灯笼每只20元，窗花每张8元，坚果每包150元，若小明和妈妈一共用了428元（三种年货都有购买），则最多能买灯笼只.

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13. 为鼓励学生居家锻炼，李老师组织线上仰卧起坐接力活动.4人为一组，每人自主设定个人目标（单位：次），组内任意2人之间均需接力一场，且每场接力2人都达到个人目标即停止，记录每场接力成绩（2人所做仰卧起坐次数之和）．小贾、小易、小冰、小丁为一组，他们六场接力成绩由小到大依次为86，92，94，98，100，106．若他们设定的个人目标分别记为a，b，c，d，其中 $b < a < c < d$ ，且 $b + d < a + c$ ．根据以上信息，得到三个结论：① $a + b = 86$ ， $c + d = 100$ ；②六场接力成绩由小到大可以依次表示为： $a + b$ ， $b + c$ ， $b + d$ ， $a + c$ ， $a + d$ ， $c + d$ ；③a，b，c，d的值分别为46，40，52，54．其中正确结论的序号是．

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三、解答题

14. 如图：EF∥AD ，∠1=∠2，∠BAC=70°，将求∠AGD的过程填写完整：
因为EF∥AD，所以∠2=       ，

又因为∠1=∠2，所以∠1=∠3，

所以AB∥        ，

所以∠BAC+       =180°，

因为∠BAC=70°，所以∠AGD=       ．

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15. 请在下列括号内填上相应步骤或理由．
已知：如图， $A B ∥ C D ， A D ⊥ A C$ ，垂足为A， $∠ 1 = ∠ 2$ ．
试说明： $E F ⊥ A C$ ．
解：因为 $A B ∥ C D$ （已知），
所以 $∠ 1 = ∠ D$ （   ）．
因为 $∠ 1 = ∠ 2$ （已知），
所以 $∠ 2 =$   ▲  （等量代换）．
所以 $E F ∥ A D$ （    ）．
所以 $∠ C E F = ∠ C A D$ （   ）．
因为 $A D ⊥ A C$ （已知），
所以 $∠ C A D = 90 °$ （垂直的定义）．
所以 $∠ C E F = 90 °$ （    ）．
所以 $E F ⊥ A C$ （垂直的定义）．

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四、作图题

16. 数学课上，王老师布置如下任务：
如图，已知∠MAN＜45°，点B是射线AM上的一个定点，在射线AN上求作点C，使∠ACB＝2∠A．
下面是小路设计的尺规作图过程．
作法：①作线段AB的垂直平分线l，直线l交射线AN于点D；
②以点B为圆心，BD长为半径作弧，交射线AN于另一点C，则点C即为所求．
根据小路设计的尺规作图过程，

(1)、使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)

(2)、完成下面的证明：
证明：连接BD，BC，
∵直线l为线段AB的垂直平分线，
∴DA＝ ▲ ，（）（填推理的依据）
∴∠A＝∠ABD，
∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2∠A．
∵BC＝BD，
∴∠ACB＝∠ ▲ ，（）（填推理的依据）
∴∠ACB＝2∠A．

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五、综合题

17.

(1)、如图1，在△ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，BE、CD相交于点F ， ∠A＝62°，∠ACD＝35°，∠ABE＝20°．求：∠BFD的度数．对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．

解：∵∠BDC＝∠A+∠ACD（ ▲ ），

∴∠BDC＝62°+35°＝97°（等量代换）．

∵∠BFD+∠BDC+∠ABE＝ ▲ （ ▲ ），

∴∠BFD＝180°﹣∠BDC﹣∠ABE＝180°﹣97°﹣20°＝63°（等式的性质）．

(2)、如图2，把一个长方形的纸ABCD沿对角线折叠（长方形对边平行且相等，四个角是直角），重合部分△FBD是个什么三角形？请证明你的结论．

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18. 设 $a$ ， $b$ 是两个不相等的正整数， $P$ 为质数，满足 $b^{2} + a = p^{2}$ ，且 $\frac{a^{2} + b}{b^{2} + a}$ 是整数．

(1)、求证： $a > b$ ；

(2)、求 $p$ 的值；

(3)、求 $a$ ， $b$ 的值．

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甲	乙	丙
书A	书B	书C

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、作图题

五、综合题

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