2023-2024学年初中数学八年级上册 19.2 证明举例同步分层训练基础卷(沪教版五四制)

试卷更新日期：2023-07-28 类型：同步测试

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一、选择题

1. 试说明“若 $∠ A + ∠ B = 180 °$ ， $∠ C + ∠ D = 180 °$ ， $∠ A = ∠ C$ ，则 $∠ B = ∠ D$ ”是真命题．以下是排乱的推理过程：
①因为 $∠ A = ∠ C$ （已知）；
②因为 $∠ A + ∠ B = 180 °$ ， $∠ C + ∠ D = 180 °$ （已知）；
③所以 $∠ B = 180 ° - ∠ A$ ， $∠ D = 180 ° - ∠ C$ （等式的性质）；
④所以 $∠ B = ∠ D$ （等量代换）；
⑤所以 $∠ B = 180 ° - ∠ C$ （等量代换）．
正确的顺序是（）

A、①→③→②→⑤→④ B、②→③→⑤→①→④ C、②→③→①→⑤→④ D、②→⑤→①→③→④

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2. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点P为 $△ A B C$ 内一点，连接 $P A$ 、 $P B$ 、 $P C$ ， $∠ A P B ≠ ∠ A P C$ ，求证： $P B ≠ P C$ ，用反证法证明时，第一步应假设（）

A、 $A B \neq A C$ B、 $P B = P C$ C、 $∠ A P B = ∠ A P C$ D、 $∠ P B C \neq ∠ P C B$

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3. 用反证法证明命题：“已知△ABC，AB＝AC；求证：∠B $<$ 90°．”第一步应先假设（　　）

A、∠B≥90° B、∠B＞90° C、∠B＜90° D、AB≠AC

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4. 如图是测量一个铁球体积的过程：①将300mL的水倒进一个容量为500mL的杯子中；②将四个质量和体积都相同的球放入水中，结果水没满；③再把一个同样的铁球放入水中，结果水满溢出．根据以上过程，推测这样一个铁球的体积大约是（）

A、 $60 {cm}^{3}$ 以上 B、 $50 {cm}^{3}$ 以上， $60 {cm}^{3}$ 以下 C、 $40 {cm}^{3}$ 以上， $50 {cm}^{3}$ 以下 D、 $30 {cm}^{3}$ 以上， $40 {cm}^{3}$ 以下

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5. 如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力.一个小组尝试将数字 $- 5 ， - 4 ， - 3 ， - 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6$ 这12 个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等.部分数字已填入圆圈中，则a的值为（）

A、 $- 4$ B、 $- 3$ C、3 D、4

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6. 网课期间，琪琪同学花整数元购买了一个手机支架，让同学们猜价格．甲说：“至少20元”，乙说“至多18元”，丙说：“至多15元”．琪琪说：“你们都猜错了．”则这个支架的价格为（）

A、15元 B、18元 C、19元 D、20元

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7. 将一副直角三角尺如图放置，已知∠EAD=∠E=45°，∠C=30°，AE∥BC，求∠AFD的度数，以下是打乱的推理过程：①∵∠E=45°，②∴∠AFD=∠E＋∠EAC=45°＋30°=75°；③∵∠C=30°，AE∥BC，④∴∠EAC=∠C=30°．推理步骤正确的是（）

A、①②③④ B、①④③② C、③④①② D、③②①④

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8. 在一次数学活动课上，王老师将1～8共八个整数依次写在八张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲、乙、丙、丁四位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：12；乙：11；丙：9；丁：4，则拿到数字5的同学是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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二、填空题

9. 用反证法证明命题“在一个三角形中，不能有两个内角为钝角”时，第一步应假设．

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10. 用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b，若∠A＞∠B，则a＞b．”第一步应假设．

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11. 命题“如果 $x^{2} \geq 1$ ，那么 $x \geq 1$ ”是命题．（选填“真”或“假”）

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12. 如图，有8张标记数字1-8的卡片．甲、乙两人玩一个游戏，规则是：甲、乙两人轮流从中取走卡片；每次可以取1张，也可以取2张，还可以取3张卡片（取2张或3张卡片时，卡片上标记的数字必须连续）；最后一个将卡片取完的人获胜．

若甲先取走标记2，3的卡片，乙又取走标记7，8的卡片，接着甲取走两张卡片，则（填“甲”或“乙”）一定获胜；若甲首次取走标记数字1，2，3的卡片，乙要保证一定获胜，则乙首次取卡片的方案是．（只填一种方案即可）

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13. 用一组a，b的值说明“若a，b为分数，则a与b的和一定大于a与b的差”是错误的，这组值可以是a＝， b＝．

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三、解答题

14. 请将下列证明过程补充完整：已知：如图， $A C ∥ D F$ ，直线 $A F$ 分别直线 $B D 、 C E$ 相交于点G，H， $∠ 1 = ∠ 2$ ．

求证： $∠ C = ∠ D$ ．

证明：∵ $∠ 1 = ∠ 2$ （已知）

$∠ 1 = ∠ D G H$ （        ），

∴ $∠ 2 = ∠ D G H$ （        ），

∴       ▲   $∥$        ▲  （同位角相等，两直线平行），

∴ $∠ C =$        ▲  （两直线平行，同位角相等）

又∵ $A C ∥ D F$ （已知），

∴ $∠ D = ∠ A B G$ （        ），

∴ $∠ C = ∠ D$ （等量代换）．

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15. 设x，y，z为互不相等的非零实数，且 $x + \frac{1}{y} = y + \frac{1}{z} = z + \frac{1}{x}$ ．求证： $x^{2} y^{2} z^{2} = 1$ ．

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四、综合题

16. 如图，已知 $A B = C D$ ， AB $∥$ CD， $E$ 、 $F$ 是 $A C$ 上两点，且 $A F = C E$ ．

(1)、证明： $A B E$ ≌ $△ C D F$ ．
证明： $∵ A F = C E$ （已知），
$∴ A F - E F = C E - E F$ （      ）
即 $A E = C F$ ．
∵ $A B ∥ C D$ ，
$∴ ∠ B A C = ∠ D C A$ （      ）
在 $△ A B E$ 和 $△ C D F$ 中，
$A B = C D$ ，
（      ），
$A E = C F$ ，
$∴ A B E$ ≌ $△ C D F$ （      ）

(2)、已知 $∠ A E B = 120 °$ ，求 $∠ D F E$ 的度数．

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17. 已知：点O是直线AB上一点，过点O分别画射线OC，OE，使得 $O C ⊥ O E$ ．

(1)、如图，OD平分 $∠ A O C$ ．若 $∠ B O C = 40 °$ ，求 $∠ D O E$ 的度数．请补全下面的解题过程（括号中填写推理的依据）．
解：∵点O是直线AB上一点，
∴ $∠ A O C + ∠ B O C = 180 °$ ．
∵ $∠ B O C = 40 °$ ，
∴ $∠ A O C = 140 °$ ．
∵OD平分 $∠ A O C$ ．
∴ $∠ C O D = \frac{1}{2} ∠ A O C$ （                  ▲                  ）．
∴ $∠ C O D =$                   ▲                  °．
∵ $O C ⊥ O E$ ，
∴ $∠ C O E = 90 °$ （                  ▲                  ）．
∵                  ▲                   $+ ∠$                    ▲                   ，
∴ $∠ D O E =$                   ▲                  °．

(2)、在平面内有一点D，满足 $∠ A O C = 2 ∠ A O D$ ．探究：当 $∠ B O C = α (0 ° < α < 180 °)$ 时，是否存在 $α$ 的值，使得 $∠ C O D = ∠ B O E$ ．若存在，请直接写出 $α$ 的值；若不存在，请说明理由．

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