2023-2024学年初中数学八年级上册 17.3 一元二次方程根的判别式同步分层训练培优卷(沪教版五四制)

试卷更新日期：2023-07-28 类型：同步测试

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一、选择题

1. 若一元二次方程 $(m - 2) x^{2} - 4 x + 2 = 0$ 有解，则m的取值范围是（　　）

A、 $m < 4$ B、 $m \leq 4$ C、 $m \leq 4$ 且 $m \neq 2$ D、 $m < 4$ 且 $m \neq 2$

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2. 关于x的一元二次方程 $x^{2} + m x - 8 = 0$ 的根的情况是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、只有一个实数根 D、没有实数根

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3. 若一元二次方程 $m x^{2} + 2 x + 1 = 0$ 有实数解，则m的取值范围是（）

A、 $m \geq - 1$ B、 $m \leq 1$ C、 $m \geq - 1$ 且 $m \neq 0$ D、 $m \leq 1$ 且 $m \neq 0$

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4. 一元二次方程 $x^{2} + 3 x - 2 = 0$ 根的情况为（　　）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、没有实数根 D、不能判定

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5. 关于x的一元二次方程 $2 x^{2} - 3 x + \frac{3}{2} = 0$ 根的情况，下列说法中正确的是（　　）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、没有实数根 D、无法确定

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6. 对于一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ ，下列说法：
①若 $a + b + c = 0$ ，则 $b^{2} - 4 a c \geq 0$ ；
②若方程 $a x^{2} + c = 0$ 有两个不相等的实根，则方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 必有两个不相等的实根；
③若c是方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的一个根，则一定有 $a c + b + 1 = 0$ 成立；
④若 $x_{0}$ 是一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的根，则 $b^{2} - 4 a c = {(2 a x_{0} + b)}^{2}$ 其中正确的（）

A、只有①②④ B、只有①②③ C、①②③④ D、只有①②

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7. 对于一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0) ，$ 下列说法：①当 $b = a + c$ 时，则方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 一定有一根为 $x = - 1$ ；②若 $a b > 0 ， b c < 0 ，$ 则方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 一定有两个不相等的实数根；③若c是方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的一个根，则一定有 $a c + b + 1 = 0$ ；④若 $b = 2 a + 3 c$ ，则方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 有两个不相等的实数根．其中正确的是（）

A、①② B、①③ C、①②④ D、②③④

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8. 已知关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 与 $c x^{2} + b x + a = 0$ ，下列判断错误的是（）

A、若方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 有两个实数根，则方程 $c x^{2} + b x + a = 0$ 也有两个实数根； B、如果m是方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的一个根，那么 $\frac{1}{m}$ 是 $c x^{2} + b x + a = 0$ 的一个根； C、如果方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 与 $c x^{2} + b x + a = 0$ 有一个根相等，那么这个根是1； D、如果方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 与 $c x^{2} + b x + a = 0$ 有一个根相等，那么这个根是1或-1.

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二、填空题

9. 已知关于x的一元二次方程（a-3）x²-8x+9＝0．

(1)、若方程的一个根为x＝-1，则a的值为；

(2)、若方程有实数根，则满足条件的正整数a的值为．

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10. 若一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 满足 $a + b + c = 0$ 且有两个相等实数根，则a与c的关系是．

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11. 对于代数式 $a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq 0$ ， a，b，c为常数）①若 $b^{2} - 4 a c = 0$ ，则 $a x^{2} + b x + c = 0$ 有两个相等的实数根；②存在三个实数 $m \neq n \neq s$ ，使得 $a m^{2} + b m + c = a n^{2} + b n + c = a s^{2} + b s + c$ ；③若 $a x^{2} + b x + c + 2 = 0$ 与方程 $(x + 2) (x - 3) = 0$ 的解相同，则 $4 a - 2 b + c = - 2$ ，以上说法正确的是．

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12. 如图是一块矩形菜地ABCD，AB=a（m），AD=b（m），面积为 $s (m^{2})$ .现将边AB增加1m.

(1)、如图1，若a=5，边AD减少1m，得到的矩形面积不变，则b的值是.

(2)、如图2，若边AD增加2m，有且只有一个a的值，使得到的矩形面积为 $2 s (m^{2})$ ，则s的值是.

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13. 若关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 各项系数满足 $a + b + c = 0$ ，则此方程的根的情况：①必有两个不相等的实数根；②当 $a = c$ 时，有两个相等的实数根；③当a ， c同号时，方程有两个正的实数根；④当a ， b同号时，方程有两个异号实数根．其中结论正确的个数是个．

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14. 已知实数满足，则 $x^{2} + y^{2} + z^{2}$ 的值是.

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三、计算题

15. 设一元二次方程 $x^{2} + b x + c = 0$ ．在下面的四组条件中选择其中一组 $b ， c$ 的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
① $b = 2 ， c = 1$ ；② $b = 3 ， c = 1$ ；③ $b = 3 ， c = - 1$ ；④ $b = 2 ， c = 2$ ．

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四、解答题

16. 已知矩形ABCD两邻边AB、BC的长是关于x的方程 $x^{2} - 2 m x + 4 m - 4 = 0$ 的两个实数根.当m为何值时，矩形ABCD的两邻边AB、BC的长相等.

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17. 已知关于x的方程 $x^{2} - 2 x + m - 2 = 0$ 有两个实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，求 $m$ 的取值范围.

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五、综合题

18. 已知抛物线 $y = x^{2} + (2 a + 1) x + 2 a + \frac{5}{4}$ 的顶点在 $x$ 轴上．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求 $\frac{a^{8} + a^{6} - a^{5} + a^{4} - 2 a^{3} - 2 a^{2}}{a^{16} + a^{12} + a^{8} - a^{7} - a^{6} + 2 a^{4} - a^{3} + 2 a^{2} - 3 a - 2}$ 的值．

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19. 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”.例如x²=4和（x-2）（x+3）=0有且只有一个相同的实数根x=2，所以这两个方程为“同伴方程”.

(1)、根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有：（只填写序号即可）
① ${(x - 1)}^{2} = 9$ ②x²+4x+4=0 ③ $x^{2} + 2 x - 8 = 0$

(2)、关于x的一元二次方程x²-2x=0与x²+x+m-1=0为“同伴方程”，求m的值；

(3)、若关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)同时满足a-b+c=0和9a+3b+c=0，且与
（x-n）（x+3）=0互为“同伴方程”，求n的值.

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二、填空题

三、计算题

四、解答题

五、综合题

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