2023-2024学年初中数学八年级上册 17.2 一元二次方程的解法同步分层训练培优卷(沪教版五四制)

试卷更新日期：2023-07-28 类型：同步测试

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一、选择题

1. 用配方法将方程x²﹣4x﹣1＝0变形为（x﹣2）²＝m，则m的值是（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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2. 下列选项中的数是一元二次方程 $x^{2} + x = 8 - x$ 的根的是（）

A、 $- 2$ B、5 C、 $- 4$ D、4

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3. 用配方法解方程ax²+bx+c＝0（a≠0），四个学生在变形时得到四种不同结果，其中配方正确的是（）

A、 ${(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{4 a c - b^{2}}{4 a^{2}}$ B、 ${(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{b^{2} - 4 a c}{2 a^{2}}$ C、 ${(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}$ D、 ${(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{b^{2} + 2 a c}{2 a^{2}}$

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4. 一元二次方程 $x^{2} + 6 x - 5 = 0$ 配方后可化为（）

A、 ${(x + 3)}^{2} = 14$ B、 ${(x + 3)}^{2} = 5$ C、 ${(x - 3)}^{2} = 14$ D、 ${(x - 3)}^{2} = 5$

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5. 用配方法解一元二次方程x²-4x-9=0，可变形为（）

A、(x-2)²=9 B、(x-2)²=13 C、(x+2)²=9 D、(x+2)²=13

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6. 在使用“配方法”解一元二次方程x²+3x=1时，方程两边应同时加上（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{9}{4}$ D、- $\frac{9}{4}$

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7. 方程 ${(4 x - 1)}^{2} = 1$ 的根为（）

A、 $x_{1} = x_{2} = \frac{1}{4}$ B、 $x_{1} = x_{2} = \frac{1}{2}$ C、 $x_{1} = 0$ ， $x_{2} = \frac{1}{2}$ D、 $x_{1} = - \frac{1}{2}$ ， $x_{2} = 0$

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8. 方程 $x (x - 1) ＝ 2$ 的解是（）

A、 $x ＝ - 1$ B、 $x ＝ - 2$ C、 $x_{1} ＝ 1 ， x {}_{2}＝ - 2$ D、 $x_{1} ＝ - 1 ， x {}_{2}＝ 2$

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二、填空题

9. 当 $x =$ 时，代数式 $x^{2} + 4 x$ 的值等于 $- 3$ ．

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10. 等腰三角形的一边长为2，另外两边长是方程 $x^{2} - k x + 16 = 0$ 的两个根，则此三角形的周长为．

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11. 阅读理解：对于 $x^{3} - (n^{2} + 1) x + n$ 这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：
$x^{3} - (n^{2} + 1) x + n = x^{3} - n^{2} x - x + n = x (x^{2} - n^{2}) - (x - n) = x (x - n) (x + n) - (x - n) = (x - n) (x^{2} + n x - 1)$ 理解运用：如果 $x^{3} - (n^{2} + 1) x + n = 0$ ，那么 $(x - n) (x^{2} + n x - 1) = 0$ ，

即有 $x - n = 0$ 或 $x^{2} + n x - 1 = 0$ ，

因此，方程 $x - n = 0$ 和 $x^{2} + n x - 1 = 0$ 的所有解就是方程 $x^{3} - (n^{2} + 1) x + n = 0$ 的解.

解决问题：求方程 $x^{3} - 5 x + 2 = 0$ 的解为.

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12. 如果关于x的一元二次方程ax²+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若（x﹣1）（mx﹣n）＝0是倍根方程，则 $\frac{2 n}{m}$ 的值为.

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13. 若分式 $\frac{| x | - 2}{x^{2} - 5 x + 6}$ 的值为0，则x的值为.

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三、计算题

14. 解方程或求值:

(1)、 $3 x^{2} - \sqrt{3} x - 12 = 0$

(2)、 $\frac{2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{3}}{5 - \sqrt{6}} \cdot \frac{1}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}}$

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四、解答题

15. 用配方法解方程：3x²＋5x-1＝0

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16. 设关于x的二次方程 $(k^{2} - 6 k + 8) x^{2} + (2 k^{2} - 6 k - 4) x + k^{2} = 4$ 的两根都是整数，求满足条件的所有实数k的值.

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五、综合题

17. 化简：

(1)、 $\frac{b}{a - b} \cdot \frac{a^{3} + a b^{2} - 2 a^{2} b}{b^{3}} \div \frac{a^{2} - b^{2}}{a b + b^{2}}$

(2)、化简代数式： $\frac{3 - x}{x - 2} \div (\frac{5}{x - 2} - x - 2)$ ，再从 $- 3$ ， $- 2$ ， 2，3，中选取一个喜欢的数值代入，并求出代数式的值．

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18.

(1)、用配方法解一元二次方程除了课本的方法，也可以用下面的配方方式：
将 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 两边同时乘以 $4 a$ 并移项，得到 $4 a^{2} x^{2} + 4 a b x = - 4 a c$ ，两边再同时加上 $b^{2}$ ，得（ ▲ ）² $= b^{2} - 4 a c$ .请用这样的方法解方程： $3 x^{2} + 5 x + 1 = 0$ ；

(2)、华裔数学家罗博深在2019年提出了一种全新的一元二次方程解法，对于 $x^{2} + b x + c = 0$ ，将等式左边进行因式分解，得到以下形式：
$x^{2} + b x + c = (x - m) \cdot (x - n)$ （从这里可以看出方程的解为 $x_{1} = m$ ， $x_{2} = n$ ）

即 $x^{2} + b x + c = x^{2} - (m + n) x + m n$

因为 $m + n = - b$ ，所以 $m$ 、 $n$ 的平均数为 $- \frac{b}{2}$ ，不妨设 $m = - \frac{b}{2} + p$ ， $n = - \frac{b}{2} - p$ ，

利用 $x_{1} \cdot x_{2} = m n$ ，得 $(- \frac{b}{2} + p) \cdot (- \frac{b}{2} - p) = c$ ，所以 ${(- \frac{b}{2})}^{2} - p^{2} = c$ ，即能求出 $p$ 的值.

举例如下：解一元二次方程 $x^{2} - 2 x - 4 = 0$ ，由于 $- \frac{b}{2} = 1$ ，所以方程的两个根为 $1 \pm p$ ，而 $1^{2} - p^{2} = - 4$ ，解得 $p = \pm \sqrt{5}$ ，所以方程的解为 $x_{1} = 1 + \sqrt{5}$ ， $x_{2} = 1 - \sqrt{5}$ .

请运用以上方法解如下方程① $x^{2} - 2 \sqrt{3} x - 4 = 0$ ；② $3 x^{2} - \sqrt{11} x + \frac{1}{2} = 0$

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2023-2024学年初中数学八年级上册 17.2 一元二次方程的解法 同步分层训练培优卷(沪教版五四制)

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二、填空题

三、计算题

四、解答题

五、综合题

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