2023-2024学年初中数学七年级上册 10.4 分式的加减同步分层训练培优卷(沪教版五四制)

试卷更新日期：2023-07-28 类型：同步测试

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一、选择题

1. 已知 $x^{2} - x - 1 = 0$ ，计算 $(\frac{2}{x + 1} - \frac{1}{x}) \div \frac{x^{2} - x}{x^{2} + 2 x + 1}$ 的值是（）

A、1 B、 $- 1$ C、2 D、 $- 2$

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2. 以下是代数式 $(\frac{3}{x - 1} - x - 1) \div \frac{x^{2} - 4 x + 4}{x - 1}$ 排乱的化简步骤：
① $= \frac{(2 + x) (2 - x)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1}{{(x - 2)}^{2}}$ ；
② $= \frac{2 + x}{2 - x}$ ；
③ $= [\frac{3}{x - 1} - \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1}] \cdot \frac{x - 1}{{(x - 2)}^{2}}$ ；
④ $= \frac{4 - x^{2}}{x - 1} \cdot \frac{x - 1}{{(x - 2)}^{2}}$ ．
则正确化简步骤的顺序是（）

A、①→③→④→② B、③→①→④→② C、③→④→①→② D、①→④→③→②

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3. 若 $x$ 为正整数，则下列运算结果不是负数（　　）

A、 $\frac{1}{x} - 1$ B、 $\frac{x^{2} - 1}{x} \cdot \frac{x}{x + 1}$ C、 $\frac{x}{x - 1} \div \frac{1}{1 - x}$ D、 $\frac{x^{2} - 2 x + 1}{1 - x}$

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4. 已知a、b、c满足a＋c＝b ，且 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{c}$ ，则下列结论错误的是（）

A、若b＞c＞0，则a＞0 B、若c＝1，则a（a－1）＝1 C、若a²－c²＝2，则ac＝2 D、若bc＝1，则a＝1

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5. 若 $a$ ， $b$ 为实数且满足 $a \neq - 1$ ， $b \neq - 1$ ，设 $M = \frac{a}{a + 1} + \frac{b}{b + 1}$ ， $N = \frac{1}{a + 1} + \frac{1}{b + 1}$ ，有以下2个结论： $①$ 若 $a b = l$ ，则 $M = N$ ； $②$ 若 $a + b = 0$ ，则 $M N \leq 0 .$ 下列判断正确的是（）

A、①对②错 B、①错②对 C、①②都错 D、①②都对

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6. 已知实数x、y、z满足 $\frac{x}{y + z} + \frac{y}{z + x} + \frac{z}{x + y} = 1$ ，则 $\frac{x^{2}}{y + z} + \frac{y^{2}}{z + x} + \frac{z^{2}}{x + y}$ 的值（）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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7. 如果 $a$ ， $b$ ， $c$ 是正数，且满足 $a + b + c = 1$ ， $\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{a + c} = 5$ ，那么 $\frac{c}{a + b} + \frac{a}{b + c} + \frac{b}{a + c}$ 的值为（）

A、-1 B、1 C、2 D、 $\frac{1}{2}$

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8. 已知a＋ $\frac{1}{a}$ ＝ $\sqrt{10}$ ，则a－ $\frac{1}{a}$ 的值为（）

A、±2 $\sqrt{2}$ B、8 C、 $\sqrt{6}$ D、± $\sqrt{6}$

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二、填空题

9. 化简： $(\frac{x + 2}{x^{2} - 2 x} - \frac{x - 1}{x^{2} - 4 x + 4}) \div \frac{x - 4}{x^{2} - 2 x} =$ .

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10. 已知一个口袋中装有7个只有颜色不同的球，其中3个白球，4个黑球，若往口袋中再放入x个白球和y个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是 $\frac{1}{4}$ ，则y与x之间的函数关系式为．

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11. 计算： $\frac{x^{2} - x y}{2 x y} + \frac{x^{2} + x y}{2 x y} =$ ．

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12. 欧拉是18世纪瑞士著名的数学家，他的贡献不仅遍及高等数学的各个领域，在初等数学中也留下了他的足迹．下面是关于分式的欧拉公式：
$\frac{a^{r}}{(a - b) (a - c)} + \frac{b^{r}}{(b - c) (b - a)} + \frac{c^{r}}{(c - a) (c - b)} = {\begin{cases} p ， & r = 0 时 \\ 0 ， & r = 1 时 \\ 1 ， & r = 2 时 \\ a + b + c ， & r = 3 时 \end{cases}$

（其中a，b，c均不为零，且两两互不相等）．

(1)、当 $r = 0$ 时，常数p的值为．

(2)、利用欧拉公式计算： $\frac{202 2^{3}}{2} - 202 1^{3} + \frac{202 0^{3}}{2} =$ ．

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13. 若 $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ ，则 $\frac{x^{2}}{x^{4} + x^{2} + 1}$ 的值为

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三、计算题

14. 先化简，再求值： $\frac{a^{2} - 6 a + 9}{4 - 2 a} \div (a + 2 - \frac{5}{a - 2})$ ，其中 $a = - \frac{1}{2}$ .

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四、解答题

15. 先化简，再求值： $(\frac{x}{x - 1} - 1) \div \frac{x^{2} - x}{x^{2} - 2 x + 1}$ ，再从不等式 $- 1 \leq x \leq 1$ 的整数解中选择一个适当的数代入求值．

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16. 先化简，再求值： $(\frac{2 x - 1}{x + 1} - 1) \div \frac{x - 2}{x^{2} + 2 x + 1}$ ，其中 $x$ 是 $- 1$ ， $1$ ， $2$ 中的一个合适的数．

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五、综合题

17.

(1)、【探索】
①如果 $\frac{3 x + 4}{x + 1} = 3 + \frac{m}{x + 1}$ ，则 $m =$ .

②如果 $\frac{5 x - 3}{x + 2} = 5 + \frac{m}{x + 2}$ ，则 $m =$ .

(2)、【总结】如果 $\frac{a x + b}{x + c} = a + \frac{m}{x + c}$ (其中a，b，c为常数)，则m=.

(3)、【应用】利用上述结论解决：若代数式 $\frac{4 x - 3}{x - 1}$ 的值为整数，求满足条件的整数 $x$ 的值.

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18. 阅读材料：
《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法.

例如：已知 $x y = 1$ ，求 $\frac{1}{1 + x} + \frac{1}{1 + y}$ 的值.

解：原式 $= \frac{x y}{x y + x} + \frac{1}{1 + y} = \frac{y}{y + 1} + \frac{1}{1 + y} = \frac{y + 1}{y + 1} = 1$ .

问题解决：

(1)、已知 $x y = 1$ .
①代数式 $\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{1}{1 + y^{2}}$ 的值为 ▲ ；

②求证： $\frac{1}{1 + x^{2021}} + \frac{1}{1 + y^{2021}} = 1$ .

(2)、若x满足 ${(2021 - x)}^{2} + {(2020 - x)}^{2} = 4043$ ，求 $(2021 - x) (2020 - x)$ 的值.

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一、选择题

二、填空题

三、计算题

四、解答题

五、综合题

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