陕西省西安市高新重点中学2022-2023学年八年级下册数学期末试卷

试卷更新日期：2023-07-28 类型：期末考试

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一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 如果 $a > b$ ，下列各式中正确的是（）

A、 $a c > b c$ B、 $a - 3 > b - 3$ C、 $- 2 a > - 2 b$ D、 $\frac{a}{2} < \frac{b}{2}$

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3. 平行四边形的对角线（）

A、长度相等 B、互相平分 C、互相垂直 D、以上都对

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4. 下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是（）

A、 $x^{2} - x - 2 = x (x - 1) - 2$ B、 $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ C、 $x^{2} - 4 = (x + 2) (x - 2)$ D、 $x - 1 = x (1 - \frac{1}{x})$

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5. 在如图右侧的四个三角形中，不能由 $△ A B C$ 经过旋转或平移得到的是（）

A、 $A$ B、 $B$ C、 $C$ D、 $D$

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6. 如图，直线 $y = - x + 2$ 与 $y = a x + b (a \neq 0$ 且 $a$ ， $b$ 为常数 $)$ 的交点坐标为 $(3 ， - 1)$ ，则关于 $x$ 的不等式 $- x + 2 \geq a x + b$ 的解集为（）

A、 $x \leq 3$ B、 $x \geq 3$ C、 $x \leq - 1$ D、 $x \geq - 1$

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7. $《$ 千里江山图 $》$ 是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为 $2.4$ 米，宽为 $1.4$ 米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是 $8$ ： $13$ ，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为 $x$ 米，根据题意可列方程（）

A、 $\frac{1.4 - x}{2.4 - x} = \frac{8}{13}$ B、 $\frac{1.4 + x}{2.4 + x} = \frac{8}{13}$ C、 $\frac{1.4 - 2 x}{2.4 - 2 x} = \frac{8}{13}$ D、 $\frac{1.4 + 2 x}{2.4 + 2 x} = \frac{8}{13}$

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8. 若关于x的方程 $\frac{2}{x}$ ＝ $\frac{m}{2 x + 1}$ 无解，则m的值为（）

A、0 B、4或6 C、6 D、0或4

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9. 如图，等边 $△ A B C$ 的顶点 $A (1 ， 1)$ ， $B (3 ， 1)$ ，规定把 $△ A B C$ “先沿 $x$ 轴翻折，再向右平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2022次变换后，等边 $△ A B C$ 的顶点 $C$ 的坐标为（）

A、 $(2023 ， \sqrt{3} + 1)$ B、 $(2023 ， - \sqrt{3} - 1)$ C、 $(2024 ， \sqrt{3} + 1)$ D、 $(2024 ， - \sqrt{3} - 1)$

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10. 如图，等边 $△ A B C$ 边长为a，点O是 $△ A B C$ 的内心， $∠ F O G = 120 °$ ，绕点O旋转 $∠ F O G$ ，分别交线段AB，BC于D，E两点，连接DE，给出下列四个结论：① $△ O D E$ 形状不变；② $△ O D E$ 的面积最小不会小于四边形 $O D B E$ 的面积的四分之一；③四边形 $O D B E$ 的面积始终不变；④ $△ B D E$ 周长的最小值为1.5a.上述结论中正确的个数是（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. 分式 $\frac{x - 5}{x + 5}$ 的值为 $0$ ，则 $x$ 的值为.

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12. 已知一个正多边形的一个内角是其相邻外角的 $5$ 倍，则该该边形的边数是．

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中， $E$ 是 $A C$ 边的中点，过点 $A$ 作 $∠ A B C$ 平分线 $B D$ 的垂线，垂足为 $D$ ，连接 $D E$ ，若 $D E = 2$ ， $B C = 8$ ，则 $A B =$ ．

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14. 若关于 $x$ 的不等式 ${\begin{array}{l} 3 x - k > 0 \\ x - 2 \leq 0 \end{array}$ 有且只有四个整数解，且一次函数 $y = (k + 4) x + k + 6$ 的图象不经过第三象限，则符合题意的整数 $k$ 的值为．

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15. 如图，四边形 $A B C D$ 中， $A D / / B C$ ， $A D = 3$ ， $B C = 8$ ， $E$ 是 $B C$ 的中点，点 $P$ 以每秒 $1$ 个单位长度的速度从 $A$ 点出发，沿 $A D$ 向点 $D$ 运动；点 $Q$ 同时以每秒 $2$ 个单位长度的速度从点 $C$ 出发，沿 $C B$ 向点 $B$ 运动，点 $P$ 停止运动时，点 $Q$ 也随之停止运动．当运动时间 $t =$ 秒时，以点 $P$ ， $Q$ ， $E$ ， $D$ 为顶点的四边形是平行四边形．

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16. 如图 $.$ 等边 $△ A B C$ 中， $B C = 8$ ， $M$ 为 $B C$ 的中点， $P$ 为 $△ A B C$ 内一动点， $P M = 2$ ，连接 $A P$ ，将线段 $A P$ 绕点 $P$ 顺时针旋转 $60 °$ 得 $P Q$ ，连接 $M Q$ ，则线段 $M Q$ 最小值为．

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三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.

(1)、分解因式； $(x^{2} + 1)^{2} - 4 x^{2}$ ．

(2)、解不等式组： ${\begin{array}{l} 2 x + 1 > - 1 \\ \frac{3 x - 1}{2} < x + 1 \end{array}$ ．

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18.

(1)、解方程 $\frac{x}{x - 2} - 1 = \frac{8}{x^{2} - 4}$ ，

(2)、 $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 2 x + 1} + \frac{x^{2} - 2 x}{x - 2} \div x$ ，从 $0$ 、 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 几个数中选取一个作为 $x$ 的值代入．

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19. 如图，已知平行四边形 $A B C D$ ，将这个四边形折叠，使得点 $A$ 和点 $C$ 重合，请你用尺规作出折痕所在的直线． $($ 保留作图痕迹，不写作法 $)$

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20. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的顶点分别为 $A (- 2 ， 4)$ ， $B (- 3 ， 1)$ ， $C (- 1 ， 3)$ ．

⑴在图中画出将 $△ A B C$ 先向下平移 $2$ 个单位长度，再向右平移 $4$ 个单位长度得到的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对应点分别为 $A_{1}$ 、 $B_{1}$ 、 $C_{1}$ ；

⑵以点 $O$ 为对称中心，在图中画出与 $△ A B C$ 成中心对称的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对应点分别为 $A_{2}$ 、 $B_{2}$ 、 $C_{2}$ ，并写出点 $A_{2}$ 的坐标．

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21. 某单位计划从商店购买同一种品牌的钢笔和笔记本，已知购买一支钢笔比购买一个笔记本多用20元，若用1500元购买钢笔和用600元购买笔记本，则购买钢笔的数量是购买笔记本数量的一半.

(1)、求购买一支钢笔、一个笔记本各需要多少元？

(2)、经商谈，商店给予优惠，优惠方式是每购买一支钢笔赠送一个笔记本；如果此单位需要笔记本的数量是钢笔数量的3倍还少6个，且购买钢笔和笔记本的总费用不超过1020元，那么最多可购买多少支钢笔？

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22. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 是 $A B$ 边上任意一点， $F$ 是 $A C$ 的中点，连接 $D F$ ，过点 $C$ 作 $C E / / A B$ 交 $D F$ 的延长线于点 $E$ ，连接 $A E$ ， $C D$ ．

(1)、求证：四边形 $A D C E$ 是平行四边形；

(2)、若 $∠ B = 30 °$ ， $∠ C A B = 45 °$ ， $A C = \sqrt{2}$ ，求 $A B$ 的长．

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23. 阅读理解：已知 $x \neq y$ ， $p = x^{2} - y^{2}$ ， $q = 2 x y - 2 y^{2} .$ 试比较 $p$ 与 $q$ 的大小．
想法：求 $p - q .$ 当 $p - q > 0$ ，则 $p > q$ ；当 $p - q < 0$ ，则 $p < q$ ；当 $p - q = 0$ ，则 $p = q$ ．
解： $∵ p - q = (x^{2} - y^{2}) - (2 x y - 2 y^{2}) = x^{2} - 2 x y + y^{2} = (x - y)^{2} > 0$ ， $∴ p > q$ ．
用你学到的方法解决下列问题：

(1)、已知 $- 1 < x < 1$ 且 $x \neq 0$ ， $m = \frac{x}{1 + x}$ ， $n = \frac{x}{1 - x} .$ 试比较 $m$ 与 $n$ 的大小．

(2)、甲、乙两地相距 $s (k m)$ ，小明和小宇同路往返于甲乙两地．小明去时和返回时的速度分别是 $a (k m / h)$ 、 $b (k m / h)$ ， $a \neq b$ ；小宇去时和返回时的速度都是 $\frac{a + b}{2} (k m / h) .$ 请问二者一个来回中，谁用时更短？

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24. 如图1，点C、D是线段AB同侧两点，且AC＝BD，∠CAB＝∠DBA，连接BC，AD交于点E.

(1)、求证：AE＝BE；

(2)、如图2，△ABF与△ABD关于直线AB对称，连接EF.
①判断四边形ACBF的形状，并说明理由；
②若∠DAB＝30°，AE＝5，DE＝3，求线段EF的长.

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25.

(1)、发现：如图 $1$ ，点 $A$ 为线段 $B C$ 外一动点，且 $B C = a$ ， $A B = b$ ．
填空：当点 $A$ 位于时，线段 $A C$ 的长取得最大值，且最大值为 $($ 用含 $a$ ， $b$ 的式子表示 $)$

(2)、应用：点 $A$ 为线段 $B C$ 外一动点，且 $B C = 3$ ， $A B = 1$ ，如图 $2$ 所示，分别以 $A B$ ， $A C$ 为边，作等边三角形 $A B D$ 和等边三角形 $A C E$ ，连接 $C D$ ， $B E$ ．
①请找出图中与 $B E$ 相等的线段，并说明理由；
②直接写出线段 $B E$ 长的最大值．

(3)、拓展：如图 $3$ ，在平面直角坐标系中，点 $A$ 的坐标为 $(2 ， 0)$ ，点 $B$ 的坐标为 $(5 ， 0)$ ，点 $P$ 为线段 $A B$ 外一动点，且 $P A = 2$ ， $P M = P B$ ， $∠ B P M = 90 °$ ，请直接写出线段 $A M$ 长的最大值及此时点 $P$ 的坐标．

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