陕西省西安市鄠邑区2022-2023学年八年级下册数学期末试卷

试卷更新日期：2023-07-28 类型：期末考试

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一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列绿色能源图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 若分式 $\frac{x^{2} - 4}{x - 2}$ 的值为 $0$ ，则 $x$ 的值为（）

A、 $\pm 2$ B、 $2$ C、 $- 2$ D、 $4$

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3. 若 $m > n$ ，则下列不等式中正确的是（）

A、 $m - 2 < n - 2$ B、 $- \frac{1}{2} m > - \frac{1}{2} n$ C、 $n - m > 0$ D、 $1 - 2 m < 1 - 2 n$

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4. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 4$ ， $∠ B = 15 °$ ， $C D$ 是腰 $A B$ 上的高，则 $C D$ 的长（）

A、 $4$ B、 $2$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $1$

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5. 下列因式分解正确的是（）

A、 $a x + a y = a (x + y) + 1$ B、 $3 a + 3 b = 3 (a + b)$ C、 $a^{2} + 4 a + 4 = {(a + 4)}^{2}$ D、 $a^{2} + b = a (a + b)$

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6. 如图，直线 $y_{1} = k x$ 和直线 $y_{2} = a x + b$ 相交于点 $(1 ， 2)$ ．则不等式组 $a x + b > k x > 0$ 的解集为（）

A、 $x < 0$ B、 $0 < x < 1$ C、 $x < 1$ D、 $x < 0$ 或 $x > 1$

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7. 如图， $O$ 是平行四边形 $A B C D$ 对角线的交点，过 $O$ 的直线分别交 $A B$ 、 $C D$ ，下列结论不正确的是（）

A、 $∠ A E O = ∠ C F O$ B、 $O E = F O$ C、 $∠ A O E = ∠ D O F$ D、四边形 $A E F D$ 和 $C F E B$ 的面积相等

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8. 如图，已知 $△ A B C$ 中， $∠ C A B = 20 °$ ， $∠ A B C = 30 °$ ，将 $△ A B C$ 绕 $A$ 点逆时针旋转 $50 °$ 得到 $△ A B' C'$ ，以下结论： $① B C = B' C'$ ， $② A C / / C' B'$ ， $③ C' B' ⊥ B B'$ ， $④ ∠ A B B' = ∠ A C C'$ ，正确的有（）

A、 $① ② ③$ B、 $① ② ④$ C、 $① ③ ④$ D、 $② ③ ④$

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二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

9. 已知点 $A (- 2 ， b)$ 与点 $B (a ， 3)$ 关于原点对称，则 $a - b =$ ．

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10. 一个多边形的内角和与外角和的和是720°，那么这个多边形的边数 $n =$ ．

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11. 如果关于 $x$ 的方程 $\frac{a}{x - 2} + 3 = \frac{1 - x}{2 - x}$ 有增根，那么 $a$ 的值是．

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12. 如图，将Rt $△ A B C$ 沿着点 $B$ 到 $C$ 的方向平移到 $△ D E F$ 的位置，此时 $A B = 10$ ， $D O = 4$ ，阴影部分面积为40，则平移的距离为．

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13. 如图，等边 $△ A B C$ 中， $A B = 6$ ， $D$ 、 $E$ 分别是AB，AC的中点，延长BC到点 $F$ ，使 $C F = \frac{1}{2} B C$ ，连接DE，CD，EF．则四边形 $D C F E$ 的周长是．

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三、计算题（本大题共2小题，共10.0分）

14. 化简 $\frac{1}{x - 1} + \frac{x^{2} - 3 x}{x^{2} - 1}$ .

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15. 解方程： $\frac{x}{x + 1} + \frac{3}{x} = 1$ .

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四、解答题（本大题共11小题，共71.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 分解因式：

(1)、 $x^{2} - 9 y^{2}$

(2)、 $a^{3} - 6 a^{2} + 9 a$

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17. 如图，在▱ $A B C D$ 中， $A B = 13$ ， $A D = 5$ ， $A C ⊥ B C$ ，求▱ $A B C D$ 的面积．

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18. 如图，已知 $△ A B C$ ， $P$ 为边 $A B$ 上一点，请用尺规作图的方法在边 $A C$ 上求作一点 $E$ ，使 $A E + E P = A C . ($ 保留作图痕迹，不写作法 $)$

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19. 如图，已知在 $△ A B C$ 中， $D E$ 是 $B C$ 的垂直平分线，垂足为 $E$ ，交 $A C$ 于点 $D$ ，若 $A B = 6$ ， $A C = 9$ ，求 $△ A B D$ 的周长．

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20. 如图，线段 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $E$ ，连接 $A B$ 、 $C D$ ，已知 $∠ A = ∠ D = 90 °$ ， $A C = B D .$ 求证： $B E = C E$ ．

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21. 解不等式组 ${\begin{array}{l} 3 (x - 1) \leq 2 x - 2 ① \\ \frac{x + 3}{3} + 1 > \frac{x + 2}{2} ② \end{array}$ ，并将其解集在数轴上表示出来．

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22. 如图， $B D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线， $D E / / B C$ ，交 $A B$ 于点 $E$ ．

(1)、求证： $∠ E B D = ∠ E D B$ ．

(2)、当 $A B = A C$ 时，请判断 $C D$ 与 $E D$ 的大小关系，并说明理由．

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23. 先化简，再求值： $(1 + \frac{2}{a + 1}) \div \frac{a^{2} + 6 a + 9}{a + 1}$ ，从 $- 3$ ， $- 1$ ， $2$ 中选择合适的 $a$ 的值代入求值．

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24. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ， $B E ⊥ A C$ ， $D F ⊥ A C$ ，垂足分别为点 $E$ ， $F$ ，且 $B E = D F$ ， $∠ A B D = ∠ B D C .$ 求证：四边形 $A B C D$ 是平行四边形．

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25. 金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．

燃油车

油箱容积： $40$ 升

油价： $9$ 元 $/$ 升

续航里程： $a$ 千米

每千米行驶费用： $\frac{40 \times 9}{a}$ 元

新能源车

电池电量： $60$ 千瓦时

电价： $0.6$ 元 $/$ 千瓦时

续航里程： $a$ 千米

每千米行驶费用：____元

(1)、用含

a

的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．

(2)、若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多

0.54

元．

①分别求出这两款车的每千米行驶费用．

②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为 $4800$ 元和 $7500$ 元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？ $($ 年费用 $=$ 年行驶费用 $+$ 年其它费用 $)$

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26.

【问题提出】如图 $1$ ，在四边形 $A B C D$ 中， $A D = C D$ ， $∠ A B C = 120 °$ ， $∠ A D C = 60 °$ ， $A B = 2$ ， $B C = 1$ ，求四边形 $A B C D$ 的面积．

【尝试解决】旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．

(1)、如图2，连接 $B D$ ，由于 $A D = C D$ ，所以可将 $△ D C B$ 绕点 $D$ 顺时针方向旋转 $60 °$ ，得到 $△ D A B'$ ，则 $△ B D B'$ 的形状是．

(2)、在(1)的基础上，求四边形 $A B C D$ 的面积．

(3)、【类比应用】
如图 $3$ ，等边 $△ A B C$ 的边长为 $2$ ， $△ B D C$ 是顶角为 $∠ B D C = 120 °$ 的等腰三角形，以D为顶点作一个 $60 °$ 的角，角的两边分别交 $A B$ 于点 $M$ ，交 $A C$ 于点 $N$ ，连接 $M N$ ，求 $△ A M N$ 的周长．

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