陕西省咸阳市武功县2022-2023学年八年级下册数学期末试卷

试卷更新日期：2023-07-28 类型：期末考试

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一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）

1. 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 若 $x < y$ ，且 $a x < a y$ ，则（）

A、 $a > 0$ B、 $a < 0$ C、 $a > - 1$ D、 $a < 1$

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3. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ，将 $△ A B C$ 以点 $A$ 为旋转中心按逆时针方向旋转 $6 0^{∘}$ ，得到 $△ A B^{'} C^{'}$ ，连接 $B B^{'}$ ，则 $B B^{'}$ 等于（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（）

A、 $x (a - b) = a x - b x$ B、 $y^{2} - 1 = (y + 1) (y - 1)$ C、 $x^{2} - 2 x + 1 = x (x - \frac{2}{x}) + 1$ D、 $a x + b x + c = x (a + b) + c$

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5. 如图， $A ､ B$ 两地被池塘隔开，小康通过下列方法测出了 $A ､ B$ 间的距离：先在 $A B$ 外选一地点 $C$ ，然后测出 $A C ， B C$ 的中点 $M ､ N$ ，并测量出 $M N$ 的长为 $18 m$ ，由此他就知道了 $A ､ B$ 间的距离．下列有关他这次探究活动的结论中，错误的是（）

A、 $A B = 36 m$ B、 $M N ∥ A B$ C、 $M N = \frac{1}{2} C B$ D、 $C M = \frac{1}{2} A C$

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6. 若关于 $x$ 的方程 $\frac{x + a}{x + 3} - \frac{2}{x + 3} = 0$ 有增根，则 $a$ 的值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $I$ 到 $△ A B C$ 的三边距离相等，连接 $A I ､ B I$ ，若 $∠ A C B = 7 0^{∘}$ ，则 $∠ A I B$ 的大小为（）

A、 $16 0^{∘}$ B、 $14 0^{∘}$ C、 $13 0^{∘}$ D、 $12 5^{∘}$

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8. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = C D$ ，对角线 $A C ， B D$ 相交于点 $O ， A E ⊥ B D$ 于点 $E ， C F ⊥ B D$ 于点 $F$ ，连接 $A F ， C E$ ，若 $D E = B F$ ，则下列结论：① $C F = A E$ ；② $O E = O F$ ；③四边形 $A B C D$ 是平行四边形；④ $O C = O B$ ．其中正确结论的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）

9. 使分式 $\frac{1}{x - 4}$ 有意义的字母 $x$ 的取值范围是．

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10. 因式分解： $x (x + 2) - x - 2 =$ ．

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11. 将正六边形与正方形按如图所示摆放，且正六边形的边 $A B$ 与正方形的边 $C D$ 在同一条直线上，则 $∠ B O C$ 的度数是．

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12. 如图，函数 $y = k x + b (k < 0)$ 的图象经过点 $P (- 1 ， 3)$ ，则关于 $x$ 的不等式 $k x + b < 3$ 的解集为．

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13. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A C ⊥ C D$ ，延长 $D C$ 到点 $E$ ，使 $C E = C D$ ，连接 $A E$ ，若 $∠ B = 6 0^{∘} ， A B = 2 \sqrt{3}$ ，则 $△ A D E$ 的周长为．

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三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）

14. 因式分解： $9 y - 25 x^{2} y$ ．

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15. 解分式方程： $\frac{x}{x + 2} + \frac{4}{x^{2} - 4} = 1$ .

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16. 如图，已知学校 $A ､ B$ 在道路 $M N$ 的异侧，在 $M N$ 上建公交站 $P$ ，使得点 $P$ 到 $A ､ B$ 的距离相等，请用尺规作图法确定点 $P$ 的位置．（保留作图痕迹，不写作法）

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17. 已知在四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在 $B C$ 的延长线上， $A D = B C ， ∠ D = ∠ D C E$ ．求证：四边形 $A B C D$ 是平行四边形．

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18. 如图，在四边形 $A B D C$ 中， $A C = A B ， ∠ A C D = ∠ A B D$ ，连接 $B C$ ，求证： $C D = B D$ ．

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19. 解不等式组： ${\begin{array}{l} x - 2 (x - 1) ⩽ 1 ， ① \\ \frac{1 + 2 x}{3} > x - 1 ， ② \end{array}$ 并把解集表示在数轴上．

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20. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A D = B C ， A C$ 为对角线， $E ､ F ､ G ､ H$ 分别是 $A B ､ C D ､ A C ､ E F$ 的中点，连接 $G F ､ G E ､ G H$ ，求证： $G H ⊥ E F$ ．

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21. 先化简，再求值： $\frac{3 m + 6}{m^{2} + 4 m + 4} \div \frac{m - 2}{m + 2} + \frac{1}{2 - m}$ ，其中 $m = 5$ ．

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22. 在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系， $△ A B C$ 的顶点都在格点上，请解答下列问题：
⑴画出将 $△ A B C$ 向左平移5个单位长度后得到的图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；
⑵画出 $△ A B C$ 关于原点 $O$ 中心对称的图形 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，并写出点 $C$ 的对应点 $C_{2}$ 的坐标．

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23. 我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图1可以用来解释 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = (a + b)^{2}$ ．现有足够多的正方形卡片1号、2号，长方形卡片3号，如图3.

(1)、根据图2完成因式分解： $2 a^{2} + 2 a b =$ ；

(2)、现有1号卡片1张、2号卡片4张，3号卡片4张，在不重叠的情况下可以紧密地拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为；（用含 $a ､ b$ 的式子表示）

(3)、图1中的1号和2号卡片所占面积之和为 $S_{1}$ ，两个3号卡片所占面积之和为 $S_{2}$ ，求证： $S_{1} - S_{2} ⩾ 0$ ．

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24. 如图， $△ A B C$ 为等边三角形，点D为 $B C$ 延长线上的一点， $C E$ 平分 $∠ A C D$ ，且 $C E = B D$ ，连接 $A D$ ， $A E$ ， $D E$ ．

(1)、求证： $A B ∥ C E$ ；

(2)、试判断 $△ A D E$ 的形状，并说明理由．

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25. 为了感受大自然，描绘大自然的美景，李老师打算为学生购买画笔（单位：盒）与画板（单位：个）两种写生工具数量若干．已知用340元购买画笔与用300元购买画板的数量相同，且每个画板的单价比每盒画笔的单价少2元．

(1)、请问购买一盒画笔和一个画板各需要多少元？

(2)、根据班级需要，购买画笔盒数和画板个数总共30件，且购买这些写生工具的总费用不超过475元，求至少购买画板多少个？

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26. 如图，点 $M$ 是 $△ A B C$ 的边 $A B$ 上一点，连接 $C M$ ，过 $A$ 作 $A D ⊥ C M$ 于点 $D$ ，过 $B$ 作 $B E ⊥ C M$ 于点 $E$ ．

(1)、问题发现：
如图①，若点 $M$ 为 $A B$ 的中点时，连接 $A E ， B D$ ，求证：四边形 $A D B E$ 是平行四边形；

(2)、拓展探究：
如图②，若点 $M$ 不是 $A B$ 的中点，点 $O$ 是 $A B$ 上不与 $M$ 重合的一点，连接 $D O ， E O$ ，已知点 $O$ 在 $D E$ 的垂直平分线上，求证： $A O = B O$ ．

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