2023-2024学年初中数学七年级上册9.16 分组分解法 同步分层训练培优卷(沪教版五四制)

① $x^2-4={\left(x-2\right)}^2$ ；② $-x^2+1=\left(x+1\right)\left(1-x\right)$ ；③ $x^3+2x-4={\left(x+2\right)}^2$ ；④ $\frac{1}{4}{x}^2-x+1={\left(\frac{1}{2}x-1\right)}^2$ ．其中因式分解正确的是（   ）

常用的分解因式的方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式只用上述一种方法无法分解，例如多项式 $x^2-xy+4x-4y$ 和 $a^2-b^2-c^2+2bc$ ．经过细心观察可以发现，若将多项式进行合理分组后，先将每一组进行分解，分别分解后再用提公因式法或公式法就可以完整分解了.

解答过程如下：
（1）$x^2-xy+4x-4y$

$=\left(x^2-xy\right)+\left(4x-4y\right)$

$=x\left(x-y\right)+4\left(x-y\right)$

$=\left(x-y\right)\left(x+4\right)$

（2）$a^2-b^2-c^2+2bc$

$=a^2-\left(b^2+c^2-2bc\right)$

$=a^2-{\left(b-c\right)}^2$

$=\left(a+b-c\right)\left(a-b+c\right)$

这种方法叫分组分解法，对于超过三项的多项式往往考虑这种方法．利用上述思想方法，把下列各式分解因式：
①$m^3-2m^2-3m+6$
②$x^2-2xy-9+y^2$

${(\sqrt{2}-1)}^2={(\sqrt{2})}^2-2\times 1\times \sqrt{2}+1^2=2-2\sqrt{2}+1=3-2\sqrt{2}$

反之 $3-2\sqrt{2}=2-2\sqrt{2}+1={(\sqrt{2}-1)}^2$ ，

所以 $3-2\sqrt{2}={(\sqrt{2}-1)}^2$ ，所以 $\sqrt{3-2\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$

完成下列各题：

例如：分解因式x³﹣4x²+x+6.步骤：

解：原式＝x³﹣3x²﹣x²+x+6 第1步：拆项法，将﹣4x²拆成﹣3x²和﹣x²；

＝（x³﹣3x²）﹣（x²﹣x﹣6）第2步：分组分解法，通过添括号进行分组；

＝x²（x﹣3）﹣（x+2）（x﹣3）第3步：提公因式法和十字相乘法（局部）；

＝（x﹣3）（x²﹣x﹣2）第4步：提公因式法（整体）；

＝（x﹣3）（x﹣2）（x+1）第5步：十字相乘法：最后结果分解彻底.

因式分解----“分组分解法”：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如，四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组进行分组分解.分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键.

例1：“两两”分组：

$ax+ay+bx+by$

$=(ax+ay)+(bx+by)$

$=a(x+y)+b(x+y)$

$=(a+b)(x+y)$

我们把 $ax$ 和 $ay$ 两项分为一组， $bx$ 和 $by$ 两项分为一组，分别提公因式，立即解除了困难.同样.这道题也可以这样做：

$ax+ay+bx+by$

$=(ax+bx)+(ay+by)$

$=x(a+b)+y(a+b)$

$=(a+b)(x+y)$

例2：“三一”分组：

$2xy+x^2-1+y^2$

$=\left(x^2+2xy+y^2\right)-1$

$=(x+y+1)(x+y-1)$

我们把 $x^2$ ， $2xy$ ， $y^2$ 三项分为一组，运用完全平方公式得到 ${(x+y)}^2$ ，再与－1用平方差公式分解，问题迎刃而解.

归纳总结：用分组分解法分解因式的方法是先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解.

请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题：