2023-2024学年初中数学七年级上册9.15 十字相乘法同步分层训练培优卷(沪教版五四制)

试卷更新日期：2023-07-28 类型：同步测试

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一、选择题

1. 下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（）

A、 $(a + 3)^{2} = a^{2} + 6 a + 9$ B、 $a^{2} - 4 a + 4 = a (a - 4) + 4$ C、 $5 a x^{2} - 5 a y^{2} = 5 a (x + y) (x - y)$ D、 $a^{2} - 2 a - 8 = (a - 2) (a + 4)$

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2. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（）

A、 $x^{2} + y^{2} = (x + y)^{2}$ B、 $x (x + 1) = x^{2} + x$ C、 $x^{2} - x - 6 = (x - 3) (x + 2)$ D、 $(x + y) (x - y) = x^{2} - y^{2}$

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3. 下列因式分解正确的是（）

A、x²-x＝x（x+1） B、a²-3a-4＝（a+4）（a-1） C、a²+2ab-b²＝（a-b）² D、x²-y²＝（x+y）（x-y）

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4. 多项式 $x^{2} + 5 x - 14$ 可因式分解成 $(x + a) (b x + c)$ ，其中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 均为整数，求 $a + 2 c$ 的值为（）

A、-12 B、3 C、-3或12 D、3或12

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5. 下列因式分解正确的是（）

A、 $x^{2} - x = x (x + 1)$ B、 $a^{2} - 3 a - 4 = a (a - 3) - 4$ C、 $a^{2} + b^{2} - 2 a b = (a + b)^{2}$ D、 $x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)$

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6. 多项式 $39 x^{2} + 5 x - 14$ 可因式分解成 $(3 x + a) (b x + c)$ ，其中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 均为整数，求 $a + 2 c$ 之值为何？（）

A、-12 B、-3 C、3 D、12

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7. 因式分解：① $2 x^{2} - x$ ；② $x^{2} + 4 + 4 x$ ；③ $x^{2} + x - 2$ ；④ $- x^{2} + 4 x - 4$ ，含有相同因式的是（）

A、①和② B、①和④ C、②和③ D、③和④

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8. 下列因式分解正确的是（）

A、x²y²-z²＝x²（y+z）（y-z） B、-x²y-4xy+5y＝-y（x²+4x+5） C、（x+2）²-9＝（x+5）（x-1） D、9-12a+4a²＝-（3-2a）²

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二、填空题

9. 因式分解： $x^{2} + x y - 6 y^{2} =$ ．

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10. 因式分解： $m x^{2} + 6 m x + 5 m =$ ．

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11. 现有若干张边长为a的正方形A型纸片，边长为b的正方形B型纸片，长宽为a、b的长方形C型纸片，小明同学选取了2张A型纸片，3张B型纸片，7张C型纸片拼成了一个长方形，则此长方形的周长为 $. ($ 用a、b代数式表示 $)$

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12. 分解因式：x²-2x-8= ．

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13. 阅读下面材料：分解因式：x²+3xy+2y²+4x+5y+3．
∵x²+3xy+2y²＝（x+y）（x+2y）．

设x²+3xy+2y²+4x+5y+3＝（x+y+m）（x+2y+n）．

比较系数得，m+n＝4，2m+n＝5．解得m＝1，n＝3．

∴x²+3xy+2y²+4x+5y+3＝（x+y+1）（x+2y+3）．

解答下面问题：在有理数范围内，分解因式2x²﹣21xy﹣11y²﹣x+34y﹣3＝．

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14. 分解因式： $b^{4} - b^{2} - 12 =$

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三、计算题

15. 解方程组： ${\begin{array}{l} x - 2 y = 5 ① \\ x^{2} + 2 x y - 3 y^{2} = 0 ② \end{array}$

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四、解答题

16. 在分解因式 $x^{2} + a x + b$ 时，甲看错了 $a$ 值，分解的结果是 $(x - 3) (x + 2)$ ，乙看错了 $b$ 值，分解的结果是 $(x - 2) (x - 3)$ ，求 $a + b$ 的值.

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17. 已知x﹣y=4，x﹣3y=2，求x²﹣4xy+3y²的值．

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18. 分解因式：x⁴+4．（提示：可通过添项，将多项式配成一个完全平方式，再进行分解）

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19. 我们知道形如 $x^{2} + (a + b) x + a b$ 的二次三项式可以分解因式为 $(x + a) (x + b)$ ，所以 $x^{2} + 6 x - 7 = x^{2} + [7 + (- 1)] x + 7 \times (- 1) = (x + 7) [x + (- 1)] = (x + 7) (x - 1)$ .
但小白在学习中发现，对于 $x^{2} + 6 x - 7$ 还可以使用以下方法分解因式.

$x^{2} + 6 x - 7 = x^{2} + 6 x + 9 - 7 - 9 = {(x + 3)}^{2} - 16 = {(x + 3)}^{2} - 4^{2}$

$= (x + 3 + 4) (x + 3 - 4) = (x + 7) (x - 1)$ .

这种在二次三项式 $x^{2} + 6 x - 7$ 中先加上9，使它与 $x^{2} + 6 x$ 的和成为一个完全平方式，再减去9，整个式子的值不变，从而可以进一步使用平方差公式继续分解因式了.

(1)、请使用小白发现的方法把 $x^{2} - 8 x + 7$ 分解因式；

(2)、填空：x²-10xy+9y²=x²-10xy++9y²-=(x-5y)²-16y²
=（x-5y）²-（）²=[（x-5y）+][（x-5y）-]
=（x-y）（x-）.

(3)、请用两种不同方法分解因式 $x^{2} + 12 m x - 13 m^{2}$ .

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五、综合题

20. 提出问题：你能把多项式 $x^{2} + 5 x + 6$ 因式分解吗？
探究问题：如图1所示，设 $a$ ， $b$ 为常数，由面积相等可得： $(x + a) (x + b) = x^{2} + a x + b x + a b = x^{2} + (a + b) x + a b$ ，将该式从右到左使用，就可以对形如 $x^{2} + (a + b) x + a b$ 的多项式进行进行因式分解即 $x^{2} + (a + b) x + a b = (x + a) (x + b)$ ．观察多项式 $x^{2} + (a + b) x + a b$ 的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项为两数之和．
解决问题： $x^{2} + 5 x + 6 = x^{2} + (2 + 3) x + 2 \times 3 = (x + 3) (x + 2)$
运用结论：

(1)、基础运用：把多项式 $x^{2} - 5 x - 24$ 进行因式分解．

(2)、知识迁移：对于多项式 $4 x^{2} - 4 x - 15$ 进行因式分解还可以这样思考：将二次项 $4 x^{2}$ 分解成图2中的两个 $2 x$ 的积，再将常数项 $- 15$ 分解成 $- 5$ 与3的乘积，图中的对角线上的乘积的和为 $- 4 x$ ，就是 $4 x^{2} - 4 x - 15$ 的一次项，所以有 $4 x^{2} - 4 x - 15 = (2 x - 5) (2 x + 3)$ ．这种分解因式的方法叫做“十字相乘法”．请用十字相乘法进行因式分解： $3 x^{2} - 19 x - 14$

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21. 几何和代数是密切相关的.

(1)、如图 1，这是由四个小长方形拼成的大长方形.我们发现：
$S_{大长方形} = 长 \times 宽 = （ x + 6 ）（ x + 2 ）$
$S_{大长方形} = S_{四个小长方形之和} = x^{2} + 6 x + 2 x +$ 12
所以得到等式： $x^{2} + 8 x + 12 = （ x + 6 ）（ x + 2 ）$
上述等式的变形过程叫.

(2)、利用图 2，请你仿照上述的过程，请把 $4 x^{2} + 2 x y + 16 x + 8 y$ 用两个多项式的乘积表示，直接写出结果.

(3)、如图3，已有这些小长方形和小正方形.请你利用所有的图形拼出一个大的长方形，并给出一个与（1）中结论类似的等式.

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22. 阅读下列材料：
1637 年笛卡儿(R．Descartes，1596 − 1650)在其《几何学》中，首次应用待定系数法将 4 次方程分解为两个 2 次方程求解，并最早给出因式分解定理．

他认为，若一个高于二次的关于 x 的多项式能被 ( $x - a$ ) 整除，则其一定可以分解为 ( $x - a$ ) 与另外一个整式的乘积，而且令这个多项式的值为 0 时， x = a 是关于 x 的这个方程的一个根．

例如：多项式 $x^{2} + 9 x - 10$ 可以分解为 ( $x - 1$ ) 与另外一个整式 M 的乘积，即 $x^{2} + 9 x - 10 = (x - 1) \cdot M$

令 $x^{2} + 9 x - 10 = 0$ 时，可知 x =1 为该方程的一个根．

关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下：分解因式： $x^{3} + 2 x^{2} - 3$

观察知，显然 x=1 时，原式 = 0 ，因此原式可分解为 ( $x - 1$ ) 与另一个整式的积．

令： $x^{3} + 2 x^{2} - 3 = (x - 1) (x^{2} + b x + c)$ ，则 $x^{3} + 2 x^{2} - 3$ = $x^{3} + (b - 1) x^{2} + (c - b) x - c$ ，因等式两边 x 同次幂的系数相等，则有： ${\begin{array}{l} b - 1 = 2 \\ c - b = 0 \\ - c = - 3 \end{array}$ ，得 ${\begin{array}{l} b = 3 \\ c = 3 \end{array}$ ，从而 $x^{3} + 2 x^{2} - 3 = (x - 1) (x^{2} + 3 x + 3)$

此时，不难发现 x= 1 是方程 $x^{3} + 2 x^{2} - 3 = 0$ 的一个根．

根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：

(1)、若 $x + 1$ 是多项式 $x^{3} + a x + 1$ 的因式，求 a 的值并将多项式 $x^{3} + a x + 1$ 分解因式；

(2)、若多项式 $3 x^{4} + a x^{3} + b x - 34$ 含有因式 $x + 1$ 及 $x - 2$ ，求a+ b 的值．

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2023-2024学年初中数学七年级上册9.15 十字相乘法 同步分层训练培优卷(沪教版五四制)

一、选择题

二、填空题

三、计算题

四、解答题

五、综合题

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