2023-2024学年初中数学七年级上册9.12 完全平方公式同步分层训练基础卷(沪教版五四制)

试卷更新日期：2023-07-28 类型：同步测试

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一、选择题

1. 下列计算正确的是（　　）

A、 $x^{2} \cdot x^{3} = x^{5}$ B、 ${(x^{3})}^{3} = x^{6}$ C、 $x (x + 1) = x^{2} + 1$ D、 ${(2 a - 1)}^{2} = 4 a^{2} - 1$

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2. 下列整式中，与 ${(- x - 1)}^{2}$ 相等的是（）

A、 $- x^{2} - 2 x - 1$ B、 $x^{2} + 2 x + 1$ C、 $- x^{2} - 1$ D、 $x^{2} + 1$

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3. 下列计算正确的是（　　）

A、 $a^{3} \cdot a^{2} = a^{6}$ B、 ${(- a^{2})}^{3} = {(- a^{3})}^{2}$ C、 $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$ D、 $(a + 2) (a - 2) = a^{2} - 4$

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4. 若 $x - y = 4$ ， $x y = 6$ ，则 $5 x^{2} + 5 y^{2}$ 的值为（）

A、20 B、140 C、150 D、200

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5. 下列计算正确的是（）

A、 $x^{2} + x^{2} = x^{4}$ B、 ${(x - y)}^{2} = x^{2} - y^{2}$ C、 ${(- x)}^{2} \cdot x^{3} = x^{5}$ D、 ${(x^{2} y)}^{3} = x^{6} y$

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6. 下列运算正确的是（）

A、 $(x + 2)^{2} = x^{2} + 4$ B、 $a^{2} \cdot a^{4} = a^{8}$ C、 ${(2 x^{3})}^{2} = 4 x^{6}$ D、 $2 x^{2} + 3 x^{2} = 5 x^{4}$

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7. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ B、 ${(- 2 m^{2})}^{3} = - 8 m^{6}$ C、 $(x + y)^{2} = x^{2} + y^{2}$ D、 $2 a b + 3 a^{2} b = 5 a^{3} b^{2}$

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8. 如图，边长为 $a$ 的大正方形中有一个边长为 $b$ 的小正方形，小颖将阴影部分的面积用两种不同的方法表示，能验证的等式是（）

A、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ B、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ C、 $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ D、 $b (a - b) = a b - b^{2}$

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二、填空题

9. 已知 $x - y = 1$ ， $x y = 6$ ，则 $x^{2} + y^{2} =$ ．

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10. 已知 $x + y = 1$ ，则 $x^{2} - y^{2} + 2 y =$ ．

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11. 已知 ${(x - y)}^{2} = 8$ ， $x y = 3$ ，则 ${(x + y)}^{2} =$ .

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12. 已知 $(2018 + m) \times (2020 + m) = 2$ ，则代数式 $(2018 + m)^{2} + (2020 + m)^{2}$ 的值为．

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三、解答题

13. 已知 $a - \frac{1}{a} = 2 \sqrt{3}$ ，求 $a + \frac{1}{a}$ 的值．

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四、作图题

14. 如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形.

(1)、图2中间的小正方形(即阴影部分)面积可表示为.

(2)、观察图2，请你写出三个代数式(m＋n)² ， (m－n)² ， mn之间的等量关系式：.

(3)、根据（2）中的结论，若x＋y=－6，xy=2.75，则x－y=.

(4)、有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示.如图3所示，它表示了(2m＋n)(m＋n)=2m²＋3mn＋n².试画出一个几何图形，使它的面积能表示为(m＋n)(m＋2n)=m²＋3mn＋2n².

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五、综合题

15. 数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a，宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．

(1)、请你用两种不同的含a，b的式子表示图2大正方形的面积：
方法1：，方法2：．
观察图2请你写出三个代数式 $（ a + b ）^{2}$ ， $a^{2} + b^{2}$ ， ab之间的数量关系：．

(2)、直接应用：根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知 $a + b = 8$ ， $a^{2} + b^{2} = 34$ ，求 $a b$ 的值．
②已知 $（ 2023 - x ）^{2} + （ x - 2021 ）^{2} = 3 ，求 (2023 - x) (x - 2021)$ 的值．

(3)、拓展应用：两个正方形 $A B C D$ ， $A E F G$ 如图3摆放，边长分别是x，y，若 $x^{2} + y^{2} = 34$ ， $B E = 2$ ，求图中阴影部分面积和．

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16. 如图，在某高铁站广场前有一块长为 $2 a + b$ ，宽为 $a + b$ 的长方形空地，计划在中间留两个长方形喷泉池（图中阴影部分），两个长方形喷泉池及周边留有宽度为b的人行通道．

(1)、求该长方形空地的面积；（用代数式表示）

(2)、求这两个长方形喷泉池的总面积；（用代数式表示）

(3)、当 $a = 200$ ， $b = 100$ 时，求这两个长方形喷泉池的总面积．

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2023-2024学年初中数学七年级上册9.12 完全平方公式 同步分层训练基础卷(沪教版五四制)

一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、作图题

五、综合题

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