2023-2024学年初中数学七年级上册9.11 平方差公式同步分层训练培优卷(沪教版五四制)

试卷更新日期：2023-07-28 类型：同步测试

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一、选择题

1. 式子 $(2 + 1) (2^{2} + 1) (2^{4} + 1) (2^{8} + 1) ⋯ ⋯ (2^{1010} + 1) + 1$ 化简的结果为（）

A、 $2^{1010}$ B、 $2^{1010} + 1$ C、 $2^{2020}$ D、 $2^{2020} + 1$

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2. （2+1）（2²+1）（2⁴+1）…（2¹⁶+1）的结果为（）

A、2³²-1 B、2³²+1 C、2³² D、2¹⁶

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3. 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”（如 $8 = 3^{2} - 1^{2}$ ， $16 = 5^{2} - 3^{2}$ ，则8，16均为“和谐数”），在不超过80的正整数中，所有的“和谐数”之和为（）

A、430 B、440 C、450 D、460

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4. 式子 $(2 + 1) (2^{2} + 1) (2^{4} + 1) (2^{8} + 1) \cdot \cdot \cdot (2^{1010} + 1)$ 化简的结果为（）

A、 $2^{1010} - 1$ B、 $2^{1010} + 1$ C、 $2^{2020} - 1$ D、 $2^{2020} + 1$

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5. 下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是（）

A、 $(x + y) (- x - y)$ B、 $(2 x + 3 y) (2 x - 3 z)$ C、 $(a + b) (a - b)$ D、 $(m - n) (n - m)$

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6. 下列运算中正确的是（　　）

A、 $(3 x)^{3} = 9 x$ B、 $5 x^{2} - 2 x^{2} = 3$ C、 $(x - 2) (x + 3) = x^{2} - 6$ D、 $(- x - 3) (3 - x) = x^{2} - 9$

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7. 下列计算正确的是（）

A、 $(a + 2) (a - 2) = a^{2} - 4$ B、 $3 a b - 2 a b = 1$ C、 ${(- 3 x^{3})}^{3} = - 9 x^{9}$ D、 $2 x^{2} \cdot x^{3} = 2 x^{6}$

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8. 如图有两张正方形纸片A和B ，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为2，图2将正方形AB并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为20，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3，（图2，图3中正方形AB纸片均无重叠部分）则图3阴影部分面积（）

A、22 B、24 C、42 D、44

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二、填空题

9. 观察下列各式的规律： $1 \times 3 = 2^{2} - 1$ ； $3 \times 5 = 4^{2} - 1$ ； $5 \times 7 = 6^{2} - 1$ ； $7 \times 9 = 8^{2} - 1 \dots$ 请将发现的规律用含 $n$ 的式子表示为．

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10. 已知 $N = (2 + 1) (2^{2} + 1) (2^{4} + 1) (2^{8} + 1) (2^{16} + 1)$ ，则 $N$ 的个位数字是．

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11. 计算： $2 (1 + \frac{1}{2}) (1 + \frac{1}{2^{2}}) (1 + \frac{1}{2^{4}}) (1 + \frac{1}{2^{8}}) + \frac{1}{2^{14}} =$ ．

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12. 计算： $99 . 8^{2} - 0 . 2^{2} =$ ．

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三、计算题

13. 计算： $(1 - \frac{1}{2^{2}})$ × $(1 - \frac{1}{3^{2}})$ × $(1 - \frac{1}{4^{2}})$ ×…× $(1 - \frac{1}{9^{2}})$ × $(1 - \frac{1}{1 0^{2}})$ ．

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四、解答题

14. 问题再现：
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．
例如：利用图形的几何意义证明完全平方公式．
证明：将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图1：
这个图形的面积可以表示成：
（a+b）²或 a²+2ab+b²
∴（a+b）²=a²+2ab+b²
这就验证了两数和的完全平方公式．
类比解决：
①请你类比上述方法，利用图形的几何意义证明平方差公式．（要求画出图形并写出推理过程）
问题提出：如何利用图形几何意义的方法证明：1³+2³=3²？
如图2，A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1=1³
B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2=2³
而A、B、C、D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形．
由此可得：1³+2³=（1+2）²=3²
尝试解决：
②请你类比上述推导过程，利用图形的几何意义确定：1³+2³+3³= ▲ ．（要求写出结论并构造图形写出推证过程）．
问题拓广：
③请用上面的表示几何图形面积的方法探究：1³+2³+3³+…+n³= ▲ ．（直接写出结论即可，不必写出解题过程）

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五、综合题

15. 如图1，边长为 $a$ 的正方形中有一个边长为 $b$ 的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为 $S_{1}$ ，图2中阴影部分面积为 $S_{2}$ ．

(1)、请直接用含 $a$ 和 $b$ 的代数式表示 $S_{1} =$ ， $S_{2} =$ ；写出利用图形的面积关系所得到的公式：（用式子表示）．

(2)、依据这个公式，康康展示了“计算： $(2 + 1) \times (2^{2} + 1) \times (2^{4} + 1) \times (2^{8} + 1)$ ”的解题过程．
解：原式 $= (2 - 1) \times (2 + 1) \times (2^{2} + 1) \times (2^{4} + 1) \times (2^{8} + 1)$
$= (2^{2} - 1) \times (2^{2} + 1) \times (2^{4} + 1) \times (2^{8} + 1)$
$= (2^{4} - 1) \times (2^{4} + 1) \times (2^{8} + 1)$
$= (2^{8} - 1) \times (2^{8} + 1)$
$= 2^{16} - 1$ ．
请仿照康康的解题过程计算： $2 \times (3 + 1) \times (3^{2} + 1) \times (3^{4} + 1) \times (3^{8} + 1) + 1$ ．

(3)、对数学知识要会举一反三，请用（1）中的公式证明：任意两个相邻奇数的平方差必是 $8$ 的倍数．

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16. 如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．

(1)、上述操作能验证的等式是：A． $a^{2} - 2 a b + b^{2} = (a - b)^{2}$ ， B． $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ （请选择正确的选项）：

(2)、请利用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知 $a^{2} - b^{2} = 36 ， a + b = 9$ ，则 $a - b =$ ；

②计算： $(2 0^{2} - 1 9^{2}) + (1 8^{2} - 1 7^{2}) + (1 6^{2} - 1 5^{2}) + ⋯ ⋯ + (4^{2} - 3^{2}) + (2^{2} - 1)$ ．

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一、选择题

二、填空题

三、计算题

四、解答题

五、综合题

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