2023-2024学年北师大版数学九年级上册1.2矩形的性质与判定（培优卷）

试卷更新日期：2023-07-28 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，点P和点Q分别从点B和点D同时出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，当四边形ABPQ初次为矩形时，点P和点Q运动的时间为（）秒．

A、2 B、3 C、4 D、5

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2. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O．AC＝4，∠AOD＝120°，则BC的长为（）

A、4 $\sqrt{3}$ B、4 C、2 $\sqrt{3}$ D、2

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3. 如图，在矩形ABCD中，AD＝10，AB＝6，E为BC上一点，DE平分∠AEC，则CE的长为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 如下图，边长为 $a$ 、 $b$ 的长方形周长为16，面积为12，则 $a^{2} b + a b^{2}$ 的值为（）

A、28 B、96 C、192 D、200

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5. 矩形 $A B C D$ 与矩形 $C E F G$ 如图放置，点 $B$ 、 $C$ 、 $E$ 共线，点 $C$ 、 $D$ 、 $G$ 共线，连接 $A F$ ，取 $A F$ 的中点 $H$ ，连接 $G H .$ 若 $B C = E F = 3$ ， $C D = C E = 1$ ，则 $G H =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2$ D、 $\frac{4}{3}$

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6. 如图，将长方形纸片 $A B C D$ 折叠，使边 $D C$ 落在对角线 $A C$ 上，折痕为 $C E$ ，且 $D$ 点落在对角线 $D^{'}$ 处．若 $A B = 3$ ， $A D = 4$ ，则 $E D$ 的长为 $($ $)$

A、 $\frac{3}{2}$ B、3 C、1 D、 $\frac{4}{3}$

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 、 $E$ 、 $F$ 分别为边 $A B$ 、 $B C$ 、 $A C$ 的中点，分别联结 $D E$ 、 $E F$ 、 $D F$ 、 $A E$ ，点 $O$ 是 $A E$ 与 $D F$ 的交点，下列结论中，正确的个数是（）
$① △ D E F$ 的周长是 $△ A B C$ 周长的一半； $② A E$ 与 $D F$ 互相平分；③如果 $∠ B A C = 90 °$ ，那么点 $O$ 到四边形 $A D E F$ 四个顶点的距离相等；④如果 $A B = A C$ ，那么点 $O$ 到四边形 $A D E F$ 四条边的距离相等．

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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8. 如图，矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，M为线段BD上一动点，MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，则PQ的最小值是（）

A、 $\frac{12}{5}$ B、3 C、 $\frac{24}{5}$ D、 $\frac{5}{2}$

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9. AC，BD是▱ $A B C D$ 的两条对角线，如果添加一个条件，使▱ $A B C D$ 为矩形，那么这个条件可以是（）

A、 $A B = B C$ B、 $A C = B D$ C、 $A C ⊥ B D$ D、 $A B ⊥ B D$

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10. 在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，当平行四边形ABCD的面积最大时，①BD＝5；②∠A+∠C＝180°；③AC⊥BD；④AC＝BD．以上4个结论中正确的有（）

A、①②③ B、①②④ C、②③④ D、①③④

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二、填空题

11. 如图，矩形纸片ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点E、F在矩形ABCD的边AB、AD上运动，将△AEF沿EF折叠，使点A′在BC边上，当折痕EF移动时，点A′在BC边上也随之移动.则A′C的取值范围为.

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12. 如图所示．在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2 ， B D = 4$ ，则 $∠ A O D =$ 度．

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13. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A D = 2 A B$ ，点 $M$ 、 $N$ 分别在边 $A D$ 、 $B C$ 上，连接 $B M$ 、 $D N .$ 若四边形 $M B N D$ 是菱形，则 $\frac{A M}{M D}$ 等于．

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14. 如图所示，已知矩形 $A B C D$ 中， $A D ＝ 10$ ， $A B ＝ 6$ 现将边 $A D$ 绕它的一个端点旋转，当另一端点恰好落在边 $B C$ 所在直线的点E处时，线段 $D E$ 的长度为

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15. 如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=8，点E为射线DC上一个动点，把△ADE沿直线AE折叠，当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，则DE的长为．

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三、解答题

16. 在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点 $A (2 ， 0) ， B (0 ， 4)$ ，以点A为旋转中心，把 $△ A B O$ 顺时针旋转，得 $△ A C D$ .

（Ⅰ）如图①，当旋转后满足 $D C / / x$ 轴时，求点C的坐标.

（Ⅱ）如图②，当旋转后点C恰好落在x轴正半轴上时，求点D的坐标.

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，边 $O B$ 上的一点P旋转后的对应点为 $P^{'}$ ，当 $D P + A P^{'}$ 取得最小值时，求点P的坐标（直接写出结果即可）

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17. 如图是某地下商业街的入口，数学课外兴趣小组的同学打算运用所学的知识测量侧面支架的最高点E到地面的距离EF．经测量，支架的立柱BC与地面垂直，即∠BCA=90°，且BC=1.5m，点F、A、C在同一条水平线上，斜杆AB与水平线AC的夹角∠BAC=30°，支撑杆DE⊥AB于点D，该支架的边BE与AB的夹角∠EBD=60°，又测得AD=1m．请你求出该支架的边BE及顶端E到地面的距离EF的长度．

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18. 如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形 $A B^{^{'}} C^{^{'}} D^{^{'}}$ ，点C的对应点 $C^{'}$ 恰好落在CB的延长线上，边AB与 $C^{^{'}} D^{^{'}}$ 相交于点E．求证： $B C = B C^{'}$ ．

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19. 平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF＝AE，连接BF，AF.
求证：四边形BFDE是矩形.

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20. 如图，将矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG，点B与点E对应，点E恰好落在AD边上，BH⊥CE交于点H，求证：AB＝BH．

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