北京市顺义区2022—2023学年七年级下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2023-07-28 类型：期末考试

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一、单选题

1. 不等式 $x \leq - 2$ 的解集在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 某时刻雷达向飞机发射微波，飞机再将微波反射回来，经过 $0.0000126$ 秒后雷达收到反射微波，将 $0.0000126$ 用科学记数法表示应为（）

A、 $0.126 \times 1 0^{- 4}$ B、 $1.26 \times 1 0^{- 5}$ C、 $12.6 \times 1 0^{- 6}$ D、 $1.26 \times 1 0^{- 7}$

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3. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{3} + a^{4} = a^{7}$ B、 $a^{3} \cdot a^{4} = a^{12}$ C、 $(a b)^{3} = a^{3} b^{3}$ D、 $a^{6} \div a^{3} = a^{2}$

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4. 下列调查中，不适宜采用抽样调查的是（）

A、调查北京市中学生睡眠时长的情况 B、了解一批科学计算器的使用寿命 C、了解某种奶制品中蛋白质的含量 D、载人飞船发射前对重要部件的检查

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5. 把方程 $2 x - y = 4$ 改写成用含x的式子表示y的形式正确的是（）

A、 $y = 2 x - 4$ B、 $x = \frac{1}{2} y + 2$ C、 $y = 2 x + 4$ D、 $x = \frac{1}{2} y - 2$

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6. 下列命题是真命题的是（）

A、一个正数与一个负数的和是负数 B、两个锐角的和是钝角 C、同角（或等角）的余角相等 D、有理数的绝对值是正数

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7. 下列多项式不能运用完全平方公式分解因式的是（）

A、 $x^{2} - 2 x + \frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{4} x^{2} - x + 1$ C、 $16 x^{2} + 8 x + 1$ D、 $x^{2} - 6 x + 9$

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8. 据北京市气象台报告，2023年5月22日 $17 ： 00 - 22 ： 00$ 的气温数据如下：下列算式不能表示这六个小时的平均气温的是（）

A、 $(30 + 30 + 28 + 25 + 23 + 22) \div 6$ B、 $(30 \times 2 + 28 + 25 + 23 + 22) \div 6$ C、 $(30 + 28 + 25 + 23 + 22) \div 5$ D、 $(4 + 4 + 2 - 1 - 3 - 4) \div 6 + 26$

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9. 小明到文具店购买钢笔和橡皮共用40元（两种物品都要买），已知钢笔每支10元，橡皮每块2元，则小明的购买方案共有（）

A、2种 B、3种 C、4种 D、5种

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10. 如图， $A B ∥ C D$ ，若 $∠ A B E = 140 °$ ， $∠ C D E = 100 °$ ，则 $∠ B E D$ 的大小为（）

A、 $100 °$ B、 $120 °$ C、 $130 °$ D、 $140 °$

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二、填空题

11. 若单项式 $- 5 a^{2} b^{m - 1}$ 与 $2 a^{2} b$ 是同类项，则 $m =$ ．

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12. 因式分解： $2 b^{2} - 2 a^{2} =$ ．

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13. 如图，利用工具测量角，则 $∠ 1$ 的大小为．

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14. 已知关于 $x$ 的不等式 $(2 a - 4) x < 2 a - 4$ 的解集是 $x > 1$ ，则 $a$ 的取值范围为．

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15. 写一个解为 ${\begin{cases} x = 2 \\ y = - 1 \end{cases}$ 的二元一次方程组．

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16. 边长分别为a与b的两个正方形按如图的样式摆放，则图中阴影部分的面积是（用含a，b的式子表示）．

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17. 下图是根据某初中校为贫困山区学校捐书的情况而制作的统计图，已知该校共有300名学生，请根据统计图计算该校初二年级共捐书本．

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18. 如果 ${\begin{array}{l} x = 1 \\ y = 2 \end{array}$ 是方程组 ${\begin{array}{l} a x + b y = - 1 \\ b x + a y = 4 \end{array}$ 的解，那么代数式 $a - b$ 的值为．

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19. 如图，点O在直线 $A B$ 上，过点O作射线 $O C$ ， $O D$ ， $O E$ ．从下面的四个条件中任选两个，可以推出 $∠ 2 = ∠ 4$ 的是（写出一组满足题意的序号）．
① $O C ⊥ A B$ ；② $∠ 1$ 和 $∠ 4$ 互余；③ $O D ⊥ O E$ ；④ $∠ 1 = ∠ 4$ ．

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20. 观察下列各等式：
      $1 + 2 = 2^{2} - 1$ ；
      $1 + 2 + 2^{2} = 2^{3} - 1$ ；
      $1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} = 2^{4} - 1$ ；
……
若 $1 + 2 + 2^{2} + \cdot \cdot \cdot + 2^{1011} = 2^{1012} - 1 = a$ ，下面是四名同学计算 $2^{1012} + 2^{1013} + \cdot \cdot \cdot + 2^{2023}$ 得到的不同结果：① $2^{2024} - 2^{1011}$ ；② $2^{2024} - 2^{1012}$ ；③ $a^{2} + 1$ ；④ $a^{2} + a$ ．所有正确结果的序号是．

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三、解答题

21. 计算：

(1)、 $(1 - a) (1 + a) + (a - a^{3}) \div a$ ；

(2)、 $(2 x^{2})^{3} \cdot x - 8 x^{4} \cdot x^{3}$ ．

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22. 计算： $| - 4 | - {(\frac{1}{3})}^{- 1} - (- 1)^{3} + (- 2023)^{0}$ ．

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23. 解方程组： ${\begin{array}{l} 4 x + y = 14 \\ 3 x - y = 0 \end{array}$

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24. 解不等式组： ${\begin{array}{l} 3 x - 2 > x + 2 \\ \frac{4 x - 4}{3} < x \end{array}$

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25. 完成下面的证明．
已知：如图， $A B ∥ C D$ ， $∠ B + ∠ D = 180 °$ ．
求证： $B C ∥ D E$ ．

证明：∵ $A B ∥ C D$ ，
      $∴ ∠ B + ∠ C =$        ▲       （  ）（填推理的依据）．
      $∵ ∠ B + ∠ D = 180 °$
      $∴ ∠ C =$        ▲  （  ）（填推理的依据）．
∴ $B C ∥ D E$ （  ）（填推理的依据）．

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26. 已知 $a - b = 3$ ，求代数式 $(b - 2 a)^{2} + a (2 b - 3 a)$ 的值．

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27. 某校为增强学生节能环保意识，组织全校学生参加了“节能环保知识竞赛”．为了解竞赛情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩（满分100分），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，过程如下：

收集数据：从该校参赛学生中随机抽取了20名学生的成绩，分数如下：

80	81	82	82	83	84	84	84	85	87
89	89	89	89	91	92	93	93	99	100

整理数据：将这20名参赛学生的成绩从低到高分成A，B，C，D四组，整理如下：

分组	A组	B组	C组	D组
分数	$80 \leq x < 85$	$85 \leq x < 90$	$90 \leq x < 95$	$95 \leq x \leq 100$
人数	8	6	$a$	2

描述数据：用扇形统计图表示这20名参赛学生的成绩：

分析数据：这20名参赛学生成绩的平均数、中位数、众数如下表所示：

统计量	平均数	中位数	众数
数值	$87.8$	$b$	$c$

根据以上提供的信息，解答下列问题：

(1)、填空：

a =

，

b =

，

c =

；

(2)、在扇形统计图中，“C组”所对应的扇形的圆心角是

°

；

(3)、若全校共有1000人参赛，估计该校竞赛成绩不低于90分的人数；

(4)、小明的竞赛成绩为89分，请判断小明的竞赛成绩能否超过一半以上的参赛者的成绩？并说明理由．

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28. 某餐饮公司销售A、B两种套餐，已知购买2份A套餐和3份B套餐共用了84元；1份A套餐和2份B套餐共用了51元．

(1)、求A套餐、B套餐的单价各多少元；

(2)、某单位从该餐饮公司购买A、B两种套餐共20份，费用不超过330元，求该单位最多能购买多少份B套餐．

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29. 已知：如图，点C在 $∠ A O B$ 的一边 $O B$ 上，过点C作 $D E ∥ O A$ ， $C F$ 平分 $∠ B C D$ ， $C G ⊥ C F$ 于点C．

(1)、若 $∠ B C G = 55 °$ ，求 $∠ D C F$ ， $∠ A O B$ 的大小；

(2)、过点O作 $O H ∥ C F$ ，交 $D E$ 于点H，
①依题意补全图形；
②求证： $O H$ 是 $∠ A O B$ 的平分线．

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30. 如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“正巧数”．例如： $8 = 3^{2} - 1^{2}$ ， $16 = 5^{2} - 3^{2}$ ， $24 = 7^{2} - 5^{2}$ ，因此8，16，24都是“正巧数”．

(1)、写出一个30到50之间的“正巧数”；

(2)、设两个连续正奇数为 $2 k - 1$ 和 $2 k + 1$ （其中 $k$ 是正整数），由它们构成的“正巧数”能被8整除吗？如果能，请说明理由；如果不能，请举例说明．

(3)、m，n为正整数，且 $m > n$ ，若 $(m - 7) (m + 7) + n^{2} - 2 m n$ 是“正巧数”．
①求 $m - n$ 的值；
②若 $m + n + 1$ 是“正巧数”，请说明 $10 m - 8 n$ 是“正巧数”．

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