四川省巴中市2023年中考数学试卷

试卷更新日期：2023-07-28 类型：中考真卷

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一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。）

1. 下列各数为无理数的是（）

A、 $0.618$ B、 $\frac{22}{7}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt[3]{- 27}$

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2. 如图所示图形中为圆柱的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列运算正确的是（）

A、 $x^{2} + x^{3} = x^{5}$ B、 $\sqrt{3} \times \sqrt{2} = \sqrt{6}$ C、 $(a - b)^{2} = a^{2} - b^{2}$ D、 $| m | = m$

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4. 下列说法正确的是（）

A、多边形的外角和为 $360 °$ B、 $6 a^{2} b - 2 a b^{2} = 2 a b (3 a - 2 b)$ C、 $525000 = 5.25 \times 1 0^{3}$ D、可能性很小的事情是不可能发生的

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5. 一次函数 $y = (k - 3) x + 2$ 的函数值 $y$ 随 $x$ 增大而减小，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $k > 0$ B、 $k < 0$ C、 $k > 3$ D、 $k < 3$

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6. 某同学学习了正方体的表面展开图后，在如图所示的正方体的表面展开图上写下了“传承红色文化”六个字，还原成正方体后，“红”的对面是（）

A、传 B、承 C、文 D、化

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7. 若 $x$ 满足 $x^{2} + 3 x - 5 = 0$ ，则代数式 $2 x^{2} + 6 x - 3$ 的值为（）

A、 $5$ B、 $7$ C、 $10$ D、 $- 13$

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8. 如图， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆，若 $∠ C = 25 °$ ，则 $∠ B A O =$ （）

A、 $25 °$ B、 $50 °$ C、 $60 °$ D、 $65 °$

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9. 某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中，美术老师要求用 $14$ 张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面 $.$ 已知每张卡纸可以裁出 $2$ 个侧面，或者裁出 $3$ 个底面，如果 $1$ 个侧面和 $2$ 个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为（）

A、 $6$ B、 $8$ C、 $12$ D、 $16$

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10. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $A B = 6 c m$ ， $B C = 8 c m$ ， $D$ 、 $E$ 分别为 $A C$ 、 $B C$ 中点，连接 $A E$ 、 $B D$ 相交于点 $F$ ，点 $G$ 在 $C D$ 上，且 $D G$ ： $G C = 1$ ： $2$ ，则四边形 $D F E G$ 的面积为（）

A、 $2 c m^{2}$ B、 $4 c m^{2}$ C、 $6 c m^{2}$ D、 $8 c m^{2}$

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11. 我国南宋时期数学家杨辉于 $1261$ 年写下的 $《$ 详解九章算法 $》$ ，书中记载的图表给出了 $(a + b)^{n}$ 展开式的系数规律．

当代数式 $x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} - 108 x + 81$ 的值为 $1$ 时，则 $x$ 的值为（）

A、 $2$ B、 $- 4$ C、 $2$ 或 $4$ D、 $2$ 或 $- 4$

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12. 在平面直角坐标系中，直线 $y = k x + 1$ 与抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，设 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ ，则下列结论正确的个数为（）
$① x_{1} \cdot x_{2} = - 4$ ． $② y_{1} + y_{2} = 4 k^{2} + 2$ ． $③$ 当线段 $A B$ 长取最小值时，则 $△ A O B$ 的面积为 $2$ ． $④$ 若点 $N (0 ， - 1)$ ，则 $A N ⊥ B N$ ．

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 在 $0$ ， $(- \frac{1}{3})^{2}$ ， $- π$ ， $- 2$ 四个数中，最小的实数是．

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14. 已知 $a$ 为正整数，点 $P (4 ， 2 - a)$ 在第一象限中，则 $a =$ ．

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15. 这组数据 $1$ ， $3$ ， $5$ ， $2$ ， $8$ ， $13$ 的中位数是．

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16. 关于 $x$ 的分式方程 $\frac{x + m}{x - 2} + \frac{1}{2 - x} = 3$ 有增根，则 $m =$ ．

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17. 如图，已知正方形 $A B C D$ 和正方形 $B E F G$ ，点 $G$ 在 $A D$ 上， $G F$ 与 $C D$ 交于点 $H$ ， $t a n ∠ A B G = \frac{1}{2}$ ，正方形 $A B C D$ 的边长为 $8$ ，则 $B H$ 的长为．

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18. 规定：如果两个函数的图象关于 $y$ 轴对称，那么称这两个函数互为“ $Y$ 函数” $.$ 例如：函数 $y = x + 3$ 与 $y = - x + 3$ 互为“ $Y$ 函数” $.$ 若函数 $y = \frac{k}{4} x^{2} + (k - 1) x + k - 3$ 的图象与 $x$ 轴只有一个交点，则它的“ $Y$ 函数”图象与 $x$ 轴的交点坐标为．

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三、解答题（本大题共7小题，共84.0分。）

19.

(1)、计算： $| 3 - \sqrt{12} | + (\frac{1}{3})^{- 1} - 4 s i n 60 ° + (\sqrt{2})^{2}$ ．

(2)、求不等式组 ${\begin{array}{l} 5 x - 1 < 3 (x + 1) ① \\ \frac{x + 1}{2} \geq \frac{2 x + 1}{5} ② \end{array}$ 的解集．

(3)、先化简，再求值 $(\frac{1}{x + 1} + x - 1) \div \frac{x^{2}}{x^{2} + 2 x + 1}$ ，其中 $x$ 的值是方程 $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ 的根．

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20. 如图，已知等边 $△ A B C$ ， $A D ⊥ B C$ ， $E$ 为 $A B$ 中点 $.$ 以 $D$ 为圆心，适当长为半径画弧，交 $D E$ 于点 $M$ ，交 $D B$ 于点 $N$ ，分别以 $M$ 、 $N$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 为半径画弧，两弧交于点 $P$ ，作射线 $D P$ 交 $A B$ 于点 $G .$ 过点 $E$ 作 $E F / / B C$ 交射线 $D P$ 于点 $F$ ，连接 $B F$ 、 $A F$ ．

(1)、求证：四边形 $B D E F$ 是菱形．

(2)、若 $A C = 4$ ，求 $△ A F D$ 的面积．

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21.

2023

年全国教育工作会议提出要把开展读书活动作为一件大事来抓，引导学生爱读书，读好书，善读书

.

某校为了推进这项工作，对全校学生一周内平均读书时间进行抽样调查，将调查结果的数据分成

A

、

B

、

C

、

D

、

E

五个等级并绘制成表格和扇形统计图如下．

等级	周平均读书时间 $t ($ 单位；小时 $)$	人数
$A$	$0 \leq t < 1$	$4$
$B$	$1 \leq t < 2$	$a$
$C$	$2 \leq t < 3$	$20$
$D$	$3 \leq t < 4$	$15$
$E$	$t \geq 4$	$5$

(1)、求统计图表中

a =

，

m =

．

(2)、已知该校共有

2800

名学生，试估计该校每周读书时间至少

3

小时的人数为．

(3)、该校每月末从每个班读书时间在

E

等级的学生中选取

2

名学生参加读书心得交流会，九年级某班共有

3

名男生

1

名女生的读书时间在

E

等级，现从这

4

名学生中选取

2

名参加交流会，用画树状图或列表的方法求该班恰好选出

1

名男生

1

名女生参加交流会的概率．

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22. 如图，已知等腰 $△ A B C$ ， $A B = A C$ ，以 $A B$ 为直径作 $⊙ O$ 交 $B C$ 于点 $D$ ，过 $D$ 作 $D F ⊥ A C$ 于点 $E$ ，交 $B A$ 延长线于点 $F$ ．

(1)、求证： $D F$ 是 $⊙ O$ 的切线．

(2)、若 $C E = \sqrt{3}$ ， $C D = 2$ ，求图中阴影部分的面积 $($ 结果用 $π$ 表示 $)$ ．

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23. 如图，正比例函数 $y = k x (k \neq 0)$ 与反比例函数 $y = \frac{m}{x} (m \neq x)$ 的图象交于 $A$ 、 $B$ 两点， $A$ 的横坐标为 $- 4$ ， $B$ 的纵坐标为 $- 6$ ．

(1)、求反比例函数的表达式．

(2)、观察图象，直接写出不等式 $k x < \frac{m}{x}$ 的解集．

(3)、将直线 $A B$ 向上平移 $n$ 个单位，交双曲线于 $C$ 、 $D$ 两点，交坐标轴于点 $E$ 、 $F$ ，连接 $O D$ 、 $B D$ ，若 $△ O B D$ 的面积为 $20$ ，求直线 $C D$ 的表达式．

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24. 综合与实践．

(1)、提出问题 $.$ 如图 $1$ ，在 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 中， $∠ B A C = ∠ D A E = 90 °$ ，且 $A B = A C$ ， $A D = A E$ ，连接 $B D$ ，连接 $C E$ 交 $B D$ 的延长线于点 $O$ ．
      $① ∠ B O C$ 的度数是．
      $② B D$ ： $C E =$ ．

(2)、类比探究 $.$ 如图 $2$ ，在 $△ A B C$ 和 $△ D E C$ 中， $∠ B A C = ∠ E D C = 90 °$ ，且 $A B = A C$ ， $D E = D C$ ，连接 $A D$ 、 $B E$ 并延长交于点 $O$ ．
      $① ∠ A O B$ 的度数是；
      $② A D$ ： $B E =$   ．

(3)、问题解决 $.$ 如图 $3$ ，在等边 $△ A B C$ 中， $A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ，点 $E$ 在线段 $A D$ 上 $($ 不与 $A$ 重合 $)$ ，以 $A E$ 为边在 $A D$ 的左侧构造等边 $△ A E F$ ，将 $△ A E F$ 绕着点 $A$ 在平面内顺时针旋转任意角度 $.$ 如图 $4$ ， $M$ 为 $E F$ 的中点， $N$ 为 $B E$ 的中点．
      $①$ 说明 $△ M N D$ 为等腰三角形．

      $②$ 求 $∠ M N D$ 的度数．

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25. 在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 经过点 $A (- 1 ， 0)$ 和 $B (0 ， 3)$ ，其顶点的横坐标为 $1$ ．

(1)、求抛物线的表达式．

(2)、若直线 $x = m$ 与 $x$ 轴交于点 $N$ ，在第一象限内与抛物线交于点 $M$ ，当 $m$ 取何值时，使得 $A N + M N$ 有最大值，并求出最大值．

(3)、若点 $P$ 为抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的对称轴上一动点，将抛物线向左平移 $1$ 个单位长度后， $Q$ 为平移后抛物线上一动点 $.$ 在 $(2)$ 的条件下求得的点 $M$ ，是否能与 $A$ 、 $P$ 、 $Q$ 构成平行四边形？若能构成，求出 $Q$ 点坐标；若不能构成，请说明理由．

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