北师大版数学九年级上册同步练习——第四章《图形的相似》综合练习（B）

试卷更新日期：2023-07-27 类型：单元试卷

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一、选择题（每题3分，共36分）

1. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DE∥BC， $\frac{A D}{D B} = \frac{2}{3}$ ，DE＝6cm，则BC的长为（）

A、9cm B、12cm C、15cm D、18cm

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2. 如图，在 $△ A B C$ 中，点D、E为边 $A B$ 的三等分点，点F、G在边 $B C$ 上， $A C ∥ D G ∥ E F$ ，点H为 $A F$ 与 $D G$ 的交点．若 $A C = 12$ ，则 $D H$ 的长为（　　）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、3

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3. 如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为 $1.6 m$ ，同时量得小菲与镜子的水平距离为 $2 m$ ，镜子与旗杆的水平距离为 $10 m$ ，则旗杆高度为（）

A、 $6.4 m$ B、 $8 m$ C、 $9.6 m$ D、 $12.5 m$

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4. 如图，点 $E$ 在正方形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 上， $E F ⊥ A B$ 于点 $F$ ，连接 $D E$ 并延长，交边 $B C$ 于点 $M$ ，交边 $A B$ 的延长线于点 $G$ ．若 $A F = 2$ ， $F B = 1$ ，则 $M G =$ （）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $\frac{3 \sqrt{5}}{2}$ C、 $\sqrt{5} + 1$ D、 $\sqrt{10}$

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5. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $A D = 4$ ，点E、F分别为 $B C$ 、 $C D$ 的中点， $B F$ 、 $D E$ 相交于点G，过点E作 $E H ∥ C D$ ，交 $B F$ 于点H，则线段 $G H$ 的长度是（）

A、 $\frac{5}{6}$ B、1 C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{5}{3}$

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6. 西周数学家商高总结了用“矩”（如图1）测量物高的方法：把矩的两边放置成如图2的位置，从矩的一端A（人眼）望点E，使视线通过点C，记人站立的位置为点B，量出BG长，即可算得物高EG．令BG=x（m）， EG=y（m），若a=30cm，b=60cm，AB=1.6m，则y关于x的函数表达式为（）

A、 $y = \frac{1}{2} x$ B、 $y = \frac{1}{2} x + 1.6$ C、 $y = 2 x + 1.6$ D、 $y = \frac{1800}{x} + 1.6$

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7. 如图，在平面直角坐标系中， $C$ 为 $△ A O B$ 的 $O A$ 边上一点， $A C ： O C = 1 ： 2$ ，过 $C$ 作 $C D ∥ O B$ 交 $A B$ 于点 $D$ ， $C$ 、 $D$ 两点纵坐标分别为1、3，则 $B$ 点的纵坐标为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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8. 如图，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 在网格中小正方形的顶点处， $A D$ 与 $B C$ 相交于点 $O$ ，小正方形的边长为1，则 $A O$ 的长等于（）

A、2 B、 $\frac{7}{3}$ C、 $\frac{6 \sqrt{2}}{5}$ D、 $\frac{9 \sqrt{2}}{5}$

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9. 如图，点D为 $△ A B C$ 边 $A B$ 上任一点， $D E ∥ B C$ 交 $A C$ 于点E，连接 $B E 、 C D$ 相交于点F，则下列等式中不成立的是（）

A、 $\frac{A D}{D B} = \frac{A E}{E C}$ B、 $\frac{D E}{B C} = \frac{D F}{F C}$ C、 $\frac{D E}{B C} = \frac{A E}{E C}$ D、 $\frac{E F}{B F} = \frac{A E}{A C}$

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10. 如图，在平面直角坐标系中，O为原点，OA=OB= $3 \sqrt{5}$ ，点C为平面内一动点，BC= $\frac{3}{2}$ ，连接AC，点M是线段AC上的一点，且满足CM∶MA=1∶2．当线段OM取最大值时，点M的坐标是（）

A、（ $\frac{3}{5}$ ， $\frac{6}{5}$ ） B、（ $\frac{3}{5} \sqrt{5}$ ， $\frac{6}{5} \sqrt{5}$ ） C、（ $\frac{6}{5}$ ， $\frac{12}{5}$ ） D、（ $\frac{6}{5} \sqrt{5}$ ， $\frac{12}{5} \sqrt{5}$ ）

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11. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点E是 $C D$ 上一点，延长 $C B$ 至点F，使 $B F = D E$ ，连结 $A E ， A F ， E F$ ， $E F$ 交 $A B$ 于点K，过点A作 $A G ⊥ E F$ ，垂足为点H，交 $C F$ 于点G，连结 $H D ， H C$ ．下列四个结论：① $A H = H C$ ；② $H D = C D$ ；③ $∠ F A B = ∠ D H E$ ；④ $A K \cdot H D = \sqrt{2} H E^{2}$ ．其中正确结论的个数为（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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12. 如图，已知 $A D // B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A B = 3$ ，点E为射线 $B C$ 上一个动点，连接 $A E$ ，将 $△ A B E$ 沿 $A E$ 折叠，点B落在点 $B^{'}$ 处，过点 $B^{'}$ 作 $A D$ 的垂线，分别交 $A D$ ， $B C$ 于M ， N两点，当 $B^{'}$ 为线段 $M N$ 的三等分点时， $B E$ 的长为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{3}{2} \sqrt{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ 或 $\frac{3}{2} \sqrt{2}$ D、 $\frac{3}{2} \sqrt{2}$ 或 $\frac{3}{5} \sqrt{5}$

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二、填空题（每空3分，共18分）

13. 如图，在 $△ A B C$ 中，以点 $C$ 为圆心，任意长为半径作弧，分别交 $A C$ ， $B C$ 于点 $D$ ， $E$ ；分别以点 $D$ ， $E$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} D E$ 的长为半径作弧，两弧交于点 $F$ ；作射线 $C F$ 交 $A B$ 于点 $G$ ，若 $A C = 9$ ， $B C = 6$ ， $△ B C G$ 的面积为 $8$ ，则 $△ A C G$ 的面积为．

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14. 如图1，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 8$ ， $B C = 6$ ， D是 $A B$ 上一点，且 $A D = 2$ ，过点D作 $D E ∥ B C$ 交 $A C$ 于E，将 $△ A D E$ 绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中 $\frac{B D}{C E}$ 的值为．

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15. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，点E，F，G，H分别是 $A B$ ， $B C$ ， $C D$ ， $A D$ 上的点，且 $B E = B F = C G = A H$ ，若菱形的面积等于24， $B D = 8$ ，则 $E F + G H =$ ．

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16. 如图，三角形纸片 $A B C$ 中， $A C = 6 ， B C = 9$ ，分别沿与 $B C ， A C$ 平行的方向，从靠近A的AB边的三等分点剪去两个角，得到的平行四边形纸片的周长是．

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17. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C ， ∠ A < 90 °$ ，点 $D ， E ， F$ 分别在边 $A B$ ， $B C ， C A$ 上，连接 $D E ， E F ， F D$ ，已知点 $B$ 和点 $F$ 关于直线 $D E$ 对称．设 $\frac{B C}{A B} = k$ ，若 $A D = D F$ ，则 $\frac{C F}{F A} =$ （结果用含 $k$ 的代数式表示）．

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18. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ，延长 $B C$ 至 $E$ ，使 $C E = 2$ ，连接 $A E$ ， $C F$ 平分 $∠ D C E$ 交 $A E$ 于 $F$ ，连接 $D F$ ，则 $D F$ 的长为．

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三、解答题（共7题，共66分）

19. 三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心．如图G是 $△ A B C$ 的重心．求证： $A D = 3 G D$ ．

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20. 如图，点E、F、G、H分别是 $▱ A B C D$ 各边的中点，连接 $A F 、 C E$ 相交于点M，连接 $A G 、 C H$ 相交于点N．

(1)、求证：四边形 $A M C N$ 是平行四边形；

(2)、若 $▱ A M C N$ 的面积为4，求 $▱ A B C D$ 的面积．

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21. 如图， $▱ A B C D$ 中，点E是 $A D$ 的中点，连接 $C E$ 并延长交 $B A$ 的延长线于点F．

(1)、求证： $A F = A B$ ；

(2)、点G是线段 $A F$ 上一点，满足 $∠ F C G = ∠ F C D$ ， $C G$ 交 $A D$ 于点H，若 $A G = 2 ， F G = 6$ ，求 $G H$ 的长．

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22. 如图，点 $C$ 为线段 $A B$ 上一点，分别以 $A C ， B C$ 为等腰三角形的底边，在 $A B$ 的同侧作等腰 $△ A C D$ 和等腰 $△ B C E$ ，且 $∠ A = ∠ C B E$ ．在线段 $E C$ 上取一点 $F$ ，使 $E F = A D$ ，连接 $B F ， D E$ ．

(1)、如图1，求证： $D E = B F$ ；

(2)、如图2，若 $A D = 2 ， B F$ 的延长线恰好经过 $D E$ 的中点 $G$ ，求 $B E$ 的长．

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23. 【问题呈现】
$△ C A B$ 和 $△ C D E$ 都是直角三角形， $∠ A C B = ∠ D C E = 90 ° ， C B = m C A ， C E = m C D$ ，连接 $A D$ ， $B E$ ，探究 $A D$ ， $B E$ 的位置关系．

(1)、如图1，当 $m = 1$ 时，直接写出 $A D$ ， $B E$ 的位置关系：；

(2)、如图2，当 $m \neq 1$ 时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．

(3)、【拓展应用】
当 $m = \sqrt{3} ， A B = 4 \sqrt{7} ， D E = 4$ 时，将 $△ C D E$ 绕点C旋转，使 $A ， D ， E$ 三点恰好在同一直线上，求 $B E$ 的长．

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24. 综合与实践

(1)、【思考尝试】
数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边 $A B$ 上一点， $D F ⊥ C E$ 于点F， $G D ⊥ D F$ ， $A G ⊥ D G$ ， $A G = C F$ ．试猜想四边形 $A B C D$ 的形状，并说明理由；

(2)、【实践探究】
小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形 $A B C D$ 中，E是边 $A B$ 上一点， $D F ⊥ C E$ 于点F， $A H ⊥ C E$ 于点H， $G D ⊥ D F$ 交 $A H$ 于点G，可以用等式表示线段 $F H$ ， $A H$ ， $C F$ 的数量关系，请你思考并解答这个问题；

(3)、【拓展迁移】
小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形 $A B C D$ 中，E是边 $A B$ 上一点， $A H ⊥ C E$ 于点H，点M在 $C H$ 上，且 $A H = H M$ ，连接 $A M$ ， $B H$ ，可以用等式表示线段 $C M$ ， $B H$ 的数量关系，请你思考并解答这个问题．

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25.

(1)、如图1，在矩形 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别在边 $D C$ ， $B C$ 上， $A E ⊥ D F$ ，垂足为点 $G$ ．求证： $△ A D E ∽ △ D C F$ ．

(2)、【问题解决】
如图2，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别在边 $D C$ ， $B C$ 上， $A E = D F$ ，延长 $B C$ 到点 $H$ ，使 $C H = D E$ ，连接 $D H$ ．求证： $∠ A D F = ∠ H$ ．

(3)、【类比迁移】
如图3，在菱形 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别在边 $D C$ ， $B C$ 上， $A E = D F = 11$ ， $D E = 8$ ， $∠ A E D = 60 °$ ，求 $C F$ 的长．

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北师大版数学九年级上册同步练习——第四章 《图形的相似》综合练习（B）

一、选择题（每题3分，共36分）

二、填空题（每空3分，共18分）

三、解答题（共7题，共66分）

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