2023-2024学年北师大版数学九年级上册1.3正方形的性质与判定（培优卷）

试卷更新日期：2023-07-27 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，点P在圆O的直径AB上，作正方形PCDE和正方形PFGH，其中点D，G在直径所在直线上，点C，E，F，H都在圆O上．若两个正方形的面积之和为16，OP= $\sqrt{2}$ ，则DG的长是（）

A、6 $\sqrt{2}$ B、2 $\sqrt{14}$ C、7 D、4 $\sqrt{3}$

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2. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ，点E，F分别在边 $A B ， C D$ 上， $∠ E F D = 60 °$ ，若将四边形 $E B C F$ 沿 $E F$ 折叠，点 $B^{'}$ 恰好落在 $A D$ 边上，则 $B E$ 的长度为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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3. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 为对角线 $A C$ 上一点，连接 $D E$ ，过点 $E$ 作 $E F ⊥ D E$ ，交 $B C$ 延长线于点 $F$ ，以 $D E$ ， $E F$ 为邻边作矩形 $D E F G$ ，连接 $C G .$ 在下列结论中：
$① D E = E F$ ； $② △ D A E$ ≌ $△ D C G$ ； $③ A C ⊥ C G$ ； $④ C E = C F .$ 其中正确的是（）

A、②③④ B、①②③ C、①②④ D、①③④

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4. 将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G.若 $D C = 5$ ， $C M = 2$ ，则 $E F =$ （）

A、3 B、4 C、 $\sqrt{29}$ D、 $\sqrt{34}$

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5. 如图，已知在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE，DF分别是∠OAD与∠ODC的角平分线，AE的延长线与DF相交于点G，则下列结论：①AG⊥DF；②EF∥AB；③AB＝AF；④OE：OB＝0.5，其中正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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6. 如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针45°后得到正方形 $O A_{1} B_{1} C_{1}$ ，依次方式，将正方形 $O A B C$ 绕点O连续旋转2021次得到正方形 $O A_{2021} B_{2021} C_{2021}$ ，如果点C的坐标为 $(0 ， 1)$ ，那么点 $B_{2021}$ 的坐标为（）

A、 $(- 1 ， 1)$ B、 $(- \sqrt{2} ， 0)$ C、 $(0 ， - \sqrt{2})$ D、 $(1 ， 0)$

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7. 如图，P是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上的一点，点E是AB的中点，则PA+PE最小值是（　　）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ C、 $\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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8. 如图，正方形ABCD的边长是4，点E是DC上一个点，且DE＝1，P点在AC上移动，则PE＋PD的最小值是（）

A、4 B、4.5 C、5.5 D、5

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9. 如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形且点E在正方形内，点P在对角线AC上，连结PD，PE，则PD+PE的最小值为（）

A、12 B、6 C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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10. 如图，四边形 $A B C D$ 和 $A E F G$ 均为正方形，点G在对角线 $B D$ 上，点F在边 $B C$ 上，连结 $B E$ ，记 $△ A E B$ 和 $△ B F G$ 的面积分别为 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ .若 $A D = 9$ ， $2 S_{1} = 3 S_{2}$ 则 $B E$ 的长为（）

A、3 B、 $\frac{9}{4} \sqrt{2}$ C、4 D、 $3 \sqrt{2}$

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二、填空题

11. 如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，连接DF，CF，则DF+CF的最小值是．

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12. 如图，在边长为 $4$ 的正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 、 $F$ 分别是边 $B C$ 、 $C D$ 上的动点.且 $B E = C F$ ，连接 $B F$ 、 $D E$ ，则 $B F + D E$ 的最小值为.

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13. 如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且 $∠ E A F = 45 °$ ，AE交BD于M点，AF交BD于N点.下列结论：① $B M^{2} + D N^{2} = M N^{2}$ ；② $A E = A F$ ；③EA平分 $∠ B E F$ ；④ $△ C E F$ 的周长等于 $2 A B$ ，其中正确结论的序号是 .（把你认为所有正确的都填上）

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14. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，将线段 $A D$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $α (0 ° < α < 180 °)$ 得到线段 $A D^{'}$ ，连接 $B D^{'}$ 、 $C D^{'}$ ．若 $△ D^{'} B C$ 是等腰三角形，则 $α =$ ．

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15. 如图（1），已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ；把正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 边长按原法延长一倍得到正方形 $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ （如图（2））；以此下去…，则正方形 $A_{4} B_{4} C_{4} D_{4}$ 的面积为．

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三、解答题

16. 如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的点，GE⊥CD，GF⊥BC，E，F分别为垂足，连结EF．设M，N分别是AB，BG的中点，EF＝5，求MN的长．

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17. 如图，四边形ABCD是正方形，点E在直线BC上，连接AE．将△ABE沿AE所在直线折叠，点B的对应点是点B′，连接AB′并延长交直线DC于点F．

(1)、当点F与点C重合时如图1，证明：DF+BE=AF；

(2)、当点F在DC的延长线上时如图2，当点F在CD的延长线上时如图3，线段DF、BE、AF有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．

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18.
如图，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．当BD、AC满足什么条件时，四边形EFGH是正方形．

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19. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长是3，点 $P$ 是直线 $B C$ 上一点，连接 $P A$ ，将线段 $P A$ ，将线段 $P A$ 绕点 $P$ 逆时针旋转90°得到线段 $P E$ ，在直线 $B A$ 上取点 $F$ ，使 $B F = B P$ ，且点 $F$ 与点 $E$ 在 $B C$ 同侧，连接 $E F$ ， $C F$ ．

(1)、如图①，当点 $P$ 在 $C B$ 延长线上时，求证：四边形 $P C F E$ 是平行四边形；

(2)、如图②，当点 $P$ 在线段 $B C$ 上时，四边形 $P C F E$ 是否还是平行四边形，说明理由；

(3)、在图②的条件下，四边形 $P C F E$ 的面积是否存在正好等于正方形 $A B C D$ 的面积的一半，若存在求出此时 $B P$ 长；若不存在，请说明理由

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20. 如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，以DE为边向外作正方形DEFG，将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，连接AG．

(1)、如图1，若AD＝2 $\sqrt{3}$ 、DE＝2，当 $∠ A D G ＝ 150 °$ 时，求AG的长；

(2)、如图2，正方形DEFG绕点D旋转的过程中，取AG的中点M，连接DM、CE，猜想：DM和CE之间有何等量关系？并利用图2加以证明．

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