2023-2024学年北师大版数学九年级上册1.3正方形的性质与判定（提升卷）

试卷更新日期：2023-07-27 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， E，F分别为边 $A B ， B C$ 的中点，连接 $A F ， D E$ ，点G，H分别为 $D E ， A F$ 的中点，连接 $G H$ ，则 $G H$ 的长为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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2. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $E$ 为对角线 $A C$ 上与点 $A$ ， $C$ 不重合的一个动点，过点 $E$ 作 $E F ⊥ A B$ 于点 $F$ ， $E G ⊥ B C$ 于点 $G$ ，连接 $D E$ ， $F G$ .给出下列结论：① $D E = F G$ ；② $D E ⊥ F G$ ；③ $∠ B F G = ∠ A D E$ ；④ $F G$ 的最小值为3.其中正确的结论有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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3. 已知：正方形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ ， $∠ D B C$ 的角平分线 $B F$ 交 $C D$ 于点 $E$ ，交 $A C$ 于点 $F$ ， $O F = 1$ ，则 $A B =$ （）

A、 $2 + \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2} - 2$ C、 $4 - 2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2} + 2$

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4. 对角线长为4cm的正方形其边长为（　　）

A、2cm B、 $2 \sqrt{2}$ cm C、4cm D、 $4 \sqrt{2}$ cm

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5. 如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点M在CD的边上，且DM＝1，△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，连接EF，则线段EF的长为（　　）

A、3 B、2 $\sqrt{3}$ C、5 D、 $\sqrt{13}$

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6. 下列判断中错误的是（）

A、四个角相等的四边形是矩形 B、对角线互相垂直平分的四边形是正方形 C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D、两组对边分别平行的四边形是平行四边形

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7. 如图，点E是正方形 $A B C D$ 的边 $D C$ 上一点，把 $△ A D E$ 绕点A顺时针旋转 $90 °$ 到 $△ A B F$ 位置．若四边形 $A E C F$ 的面积为36， $D E = 2$ ，则 $A E$ 的长为（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{6}$ C、6 D、 $2 \sqrt{10}$

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8. 下列命题中，真命题是（）

A、对角线互相垂直的四边形是菱形 B、对角线互相垂直平分的四边形是正方形 C、四条边相等的四边形是矩形 D、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

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9. 【教材呈现】下图是北师大版九年级上册数学教材第25页第4题内容的变式．如图，三个边长相同的正方形重叠在一起， $O_{1}$ 、 $O_{2}$ 是其中两个正方形的中心，阴影部分的面积和是8，则正方形的边长为（）

A、2 B、4 C、8 D、 $2 \sqrt{2}$

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10. 如图，四边形 $A B C D$ 是正方形，延长 $A B$ 到点 $E$ ，使 $A E = A C$ ，则 $∠ B C E$ 的度数是（）

A、 $62.5 °$ B、 $45 °$ C、 $32.5 °$ D、 $22.5 °$

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二、填空题

11. 我们规定菱形与正方形接近程度称为“接近度”，设菱形相邻两个内角的度数分别为 $α °$ ， $β °$ ，将菱形的“接近度”定义为 $| α - β |$ ，于是 $| α - β |$ 越小，菱形越接近正方形.
①若菱形的一个内角为 $80 °$ ，则该菱形的“接近度”为；
②当菱形的“接近度”等于时，菱形是正方形.

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12. 如图，直线l上有三个正方形 $a ， b ， c$ ，若 $a ， b$ 的面积分别为9和25，若抛一颗石子，落在阴影部分的概率为.

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13. 如图，正方形 $A B C D$ 中，将边 $A B$ 绕着点A旋转，当点B落在边 $C D$ 的垂直平分线上的点E处时， $∠ B E D$ 的度数为．

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14. 正方形 $A B C D$ 的对称中心为点 $O$ ，若 $O A = 2$ ，则该正方形的周长为.

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15. 如图，已知P是正方形ABCD对角线AC上的一点，且AP＝AD，则∠CDP的大小是度．

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三、解答题

16. 如图，正方形ABCD中，点P，Q分别为CD，AD边上的点，且DQ＝CP，连接BQ，AP．求证：BQ⊥AP．

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17. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，点E，F分别在边 $A B ， B C$ 上， $A F ⊥ D E$ ，且 $A F = D E$ ， $A F$ 与 $D E$ 相交于点G．求证：矩形 $A B C D$ 为正方形；

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18. 如图，菱形ABCD的边长为4， $∠ B = 60 °$ ，以AC为边长作正方形ACEF，求这个正方形的周长.

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19. 已知：如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线， $D E ⊥ B C$ ， $D F ⊥ A C$ ，垂足分別为E、F.求证：四边形 $C E D F$ 是正方形.

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20. 如图，在正方形ABCD中，EF分别是BC，CD上的点，且∠EAF=45°，探究线段BE，FD与EF之间的数量关系．某同学探究的方法大致是将△ABE绕A点旋转90°使得B与D重合，连接AG，由此得到AE=AG，BE=GD，证明∠EAF=∠GAF=45°，再证△EAF≌△GAF，最后通过转化可得出结论：EF=BE+FD．请帮该同学写出证明过程．

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