2023-2024学年北师大版数学九年级上册1.1菱形的性质与判定（培优卷）

试卷更新日期：2023-07-27 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，在▱ABCD中，O为AC的中点，经过点O的直线交AD于E交BC于F，连接AF、CE，下列选项可以使四边形AFCE是菱形的为（）

A、OE＝OF B、AE＝CF C、EF⊥AC D、EF＝AC

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2. 如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH为菱形，四边形ABCD应具备的条件是（）

A、一组对边平行而另一组对边不平行 B、对角线相等 C、对角线互相垂直 D、对角线互相平分

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3. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 分别为16和12， $D E ⊥ A B$ 于点E，则 $D E =$ （）

A、 $\frac{48}{5}$ B、 $\frac{96}{5}$ C、10 D、8

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4. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A C = 6 c m ， B D = 8 c m$ ，则菱形 $A B C D$ 的周长是（）

A、 $14 c m$ B、 $16 c m$ C、 $18 c m$ D、 $20 c m$

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5. 如图，菱形 $A B C D$ 对角线交点与坐标原点 $O$ 重合，点 $A (- 2 ， 5)$ ，则点 $C$ 的坐标为（）

A、 $(5 ， - 2)$ B、 $(2 ， - 5)$ C、 $(2 ， 5)$ D、 $(- 2 ， - 5)$

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6. 如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC、BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC，AD于点F、G，连接OG、AE.则下列结论：①OG＝ $\frac{1}{2}$ AB； ②四边形ABDE是菱形；③S_四边形_ODGF＝S_△_ABF；其中正确的是（）

A、①② B、①③ C、②③ D、①②③

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7. 如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD=DE，连接BE分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论：①OG= $\frac{1}{2}$ AB②与△DEG全等的三角形共有5个：③四边形ODEG与四边形OBAG面积相等：④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形。其中一定成立的是（）

A、①③④ B、①②③ C、①②④ D、②③④

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8. 如图，小华剪了两条宽为 $1$ 的纸条，交叉叠放在一起，且它们较小的交角为 $60^{\circ}$ ，则它们重叠部分的面积为（）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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9. 如图，菱形ABCD中的边长为1，∠BAD=60°，将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转30°得到菱形AB′CD′，B′C′交CD于点E，连接AE，CC′，则下列结论：①ΔAB′E≌ΔADE；②EC=ED；③AE⊥CC′；④四边形AB′ED的周长为 $\sqrt{3}$ +2.其中符合题意结论的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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10. 如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为 $8 \sqrt{3}$ ，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为（）

A、2 B、2 $\sqrt{3}$ C、4 D、4 $\sqrt{3}$

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二、填空题

11. 在菱形ABCD中， $∠ B = 45 °$ ， $A B = 4$ ，点P是射线BC上一动点，（不与B，C重合），连接PA，PD，当 $△ P A D$ 是等腰三角形时，BP的长为．

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12. 如图，在边长为10的菱形 $A B C D$ 中，对角线 $B D = 16$ ，点O是线段 $B D$ 上的动点， $O E ⊥ A B$ 于E， $O F ⊥ A D$ 于F.则 $O E + O F =$ .

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13. 如图，菱形ABCD的边长为4，∠A=60°，E是边AD的中点，F是边BC上的一个动点，EG=EF，且∠GEF=60°，则GB+GC的最小值为.

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14. 如图，四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=6，对角线AC与BD相较于点O，点E在AC上，若OE=2 $\sqrt{3}$ ，则CE的长为

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15. 如图，已知四边形 $A B C D$ 是平行四边形，从① $A C ⊥ B D$ ， ② $A C = B D$ ， ③ $∠ A B C = ∠ A D C$ 中选择一个作为条件，补充后使四边形 $A B C D$ 成为菱形，则应选择（填序号）.

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三、解答题

16. 如图，点E是菱形ABCD的边BC延长线上一点，AC是对角线，∠BAC：∠ACE＝2：7，求∠B的度数.

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17. 如图，四边形 $A B C D$ 是菱形， $A E ⊥ C D$ 于点E， $A F ⊥ B C$ 于点F．求证： $C E = C F$ ．

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18. 如图，已知矩形ABCD，连接AC，EF垂直平分AC于点O，分别交AD、BC于点E、点F，连接FC.

(1)、求证：四边形AECF是菱形；

(2)、若△CEF与△CED的面积比为3∶1，且AB=4，求四边形AECF的面积.

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19. 在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点E的位置随着点P的位置变化而变化．

(1)、问题提出
如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是， CE与CB的位置关系是．

(2)、如图2，当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．

(3)、问题解决
如图3，连湖公园有一块观赏园林区，其形状是一个边长为20m的菱形ABCD，其中∠ABC＝60°，对角线BD是一条花间小径，现计划在BD延长线上（包括D点）取点P，以AP为边长修建一个等边△APE的娱乐区，放置各类运动娱乐设施，从娱乐区顶点E再修一条直直的小路BE，为了让游客们更轻松愉快地游玩，园区还计划在BE中点处设置一个直饮水点F，求饮水点F到C点的最短距离．

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20. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 8$ ， $A D = 6$ ，点 $O$ 是对角线 $B D$ 的中点，过点 $O$ 的直线分别交 $A B$ 、 $C D$ 边于点 $E$ 、 $F$ .

(1)、求证：四边形 $D E B F$ 是平行四边形；

(2)、当 $D E = D F$ 时，求四边形 $D E B F$ 的面积.

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