广东省广州市番禺区2022-2023学年高一下学期期末数学试题

试卷更新日期：2023-07-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 2 ， - 1 ， 2 ， 3}$ ， $B = {x \in R | x^{2} - x - 6 < 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 2$ ， $- 1}$ B、 ${- 1$ ， $2}$ C、 ${- 2$ ， $- 1$ ， $2}$ D、 ${- 2$ ， $- 1$ ， $3}$

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2. 复数 $z = \frac{2 + i}{i}$ ，则在复平面内z对应的点的坐标是（）

A、 $(1 ， - 2)$ B、 $(- 1 ， - 2)$ C、 $(1 ， 2)$ D、 $(- 1 ， 2)$

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3. 总体由编号为

01 ， 02 ， \cdot \cdot \cdot ， 19 ， 20

的

20

个个体组成，利用下面的随机数表选取

6

个个体，选取方法是从随机数表第

1

行的第

5

列和第

6

列数字开始由左到右依次选取两个数字（作为个体编号）．

$7816$	$6572$	$0802$	$6314$	$0702$	$4311$
$3204$	$9234$	$4935$	$8200$	$3623$	$4869$

则选出来的第 $5$ 个个体的编号为（）

A、

07

B、

02

C、

11

D、

04

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4. 已知角α的终边经过点 $P (\frac{3}{5} ， - \frac{4}{5})$ ，则 $c o s α - s i n α$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $- \frac{7}{5}$ C、 $\frac{7}{5}$ D、 $- \frac{1}{5}$

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5. “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积过程中构造的一个和谐优美的几何模型．如图1，正方体的棱长为2，用一个底面直径为2的圆柱面去截该正方体，沿着正方体的前后方向和左右方向各截一次，截得的公共部分即是一个“牟合方盖”（如图2）．已知这个“牟合方盖”与正方体外接球的体积之比为 $4 ： 3 \sqrt{3} π$ ，则这个“牟合方盖”的体积为（）

A、 $\frac{16 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{8}{3}$ D、 $\frac{16}{3}$

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6. 四位爸爸 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 相约各带一名自己的小孩进行交际能力训练，其中每位爸爸都与一个别人家的小孩进行交谈，则 $A$ 的小孩与 $D$ 交谈的概率是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{5}{9}$ D、 $\frac{2}{3}$

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7. 岭南古邑的番禺不仅拥有深厚的历史文化底蕴，还聚焦生态的发展．下图 $1$ 是番禺区某风景优美的公园地图，其形状如一颗爱心．图 $2$ 是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在 $x$ 轴上方的图象对应的函数解析式可能为（）

A、 $y = | x | \sqrt{4 - x^{2}}$ B、 $y = x \sqrt{4 - x^{2}}$ C、 $y = \sqrt{- x^{2} + 2 | x |}$ D、 $y = \sqrt{- x^{2} + 2 x}$

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8. 将函数 $f (x) = s i n (x + \frac{π}{3})$ 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标保持不变，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，若 $g (x_{1}) g (x_{2}) = - 1 (x_{1} \neq x_{2})$ ，则 $| \frac{x_{1} + x_{2}}{2} |$ 的最小值为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{12}$ D、 $\frac{π}{6}$

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二、多选题

9. 已知直线l､m，平面 $α 、 β ， l \subset α ， m \subset β$ ，则下列说法中正确的是（）

A、若 $l / / m$ ，则必有 $α / / β$ B、若 $l ⊥ m$ ，则必有 $α ⊥ β$ C、若 $l ⊥ β$ ，则必有 $α ⊥ β$ D、若 $α / / β$ ，则必有 $l / / β$

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10. 某校采取分层抽样的方法抽取了高一年级

20

名学生的数学成绩（满分

100

），并将他们的成绩制成如下所示的表格．

等级	$A$ 组			$B$ 组		$C$ 组
成绩	$60$	$65$	$70$	$75$	$80$	$85$	$90$
人数	$3$	$2$	$3$	$5$	$4$	$2$	$1$

下列结论正确的是（）

A、这

20

人数学成绩的众数

75

B、

A

组

8

位同学数学成绩的方差为

\frac{75}{4}

C、这

20

人数学成绩的平均数为

75

D、这

20

人数学成绩的

25 %

分位数为

65

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11. 若点D，E，F分别为 $△ A B C$ 的边BC，CA，AB的中点，且 $\vec{B C} = \vec{a} ， \vec{C A} = \vec{b}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{A D} = - \frac{1}{2} \vec{a} - \vec{b}$ B、 $\vec{B E} = \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ C、 $\vec{C F} = - \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ D、 $\vec{E F} = \frac{1}{2} \vec{a}$

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12. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $E ， F ， P ， M ， N$ 分别是 $A B ， C C_{1} ， D D_{1} ， A D ， C D$ 的中点，则（）

A、 $E F / /$ 平面 $P M N$ B、直线 $P M$ 与 $E F$ 所成的角是 $\frac{π}{3}$ C、点 $E$ 到平面 $P M N$ 的距离是 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、存在过点 $E ， F$ 且与平面 $P M N$ 平行的平面 $α$ ，平面 $α$ 截该正方体得到的截面面积为 $3 \sqrt{3}$

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三、填空题

13. 若 $c o s α = - \frac{3}{5}$ ，则 $c o s 2 α =$ ．

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14. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{3} ， x \leq 0 \\ l g x ， x > 0 \end{array}$ ，则 $f (100) =$ ．

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15. 若向量 $\vec{a} = (\sqrt{3} ， 3)$ ， $\vec{b} = (- 2 ， 0)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为．

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四、双空题

16. 英国数学家泰勒发现了如下公式： $e^{x} = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + ⋯$ ， $s i n x = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!} + ⋯$ ， $c o s x = 1$ $- \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \frac{x^{6}}{6!} + ⋯$ ，其中 $n! = 1 \times 2 \times 3 \times ⋯ \times n$ ．可以看出这些公式右边的项用得越多，计算出 $e^{x}$ 、 $s i n x$ 和 $c o s x$ 的值也就越精确，则 $c o s 1$ 的近似值为（精确到0.01）；运用上述思想，可得到函数 $f (x) = e^{x} - \frac{1}{x}$ 在区间 $(\frac{2}{3} ， 1)$ 内有个零点．

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五、解答题

17. 已知下列三个条件：①函数 $f (x - \frac{π}{3})$ 为奇函数；②当 $x = \frac{π}{6}$ 时， $f (x) = 2$ ；③ $\frac{2 π}{3}$ 是函数 $f (x)$ 的一个零点．从这三个条件中任选一个填在下面的横线处，并解答下列问题．
已知函数 $f (x) = 2 s i n (x + φ) (0 < φ < \frac{π}{2})$ ， ____．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $[0 ， 2 π]$ 上的单调递增区间．

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18. 在 $△ A B C$ 中， $c o s B = \frac{1}{2}$ ， $c = 8$ ， $b = 7$ ．

(1)、求 $s i n C$ ；

(2)、若角 $C$ 为钝角，求 $△ A B C$ 的周长．

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19. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A_{1} A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $∠ A C B = 90 °$ ， M是AB的中点， $A C = C B = C C_{1} = 2$ ．

(1)、证明：直线CM⊥平面 $A A_{1} B_{1} B$ ；

(2)、求直线 $A_{1} C$ 与平面 $A A_{1} B_{1} B$ 所成角的大小．

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20. 某省实行“ $3 + 1 + 2$ ”高考模式，为让学生适应新高考的赋分模式，某校在一次校考中使用赋分制给高三年级学生的生物成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定 $A ， B ， C ， D ， E$ 共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分．其中， $A$ 等级排名占比 $15 %$ ，赋分分数区间是 $86 ∼ 100$ ； $B$ 等级排名占比 $35 %$ ，赋分分数区间是 $71 ∼ 85$ ； $C$ 等级排名占比 $35 %$ ，赋分分数区间是 $56 ∼ 70$ ； $D$ 等级排名占比 $13 %$ ，赋分分数区间是 $41 ∼ 55$ ； $E$ 等级排名占比 $2 %$ ，赋分分数区间是 $30 \sim 40$ ；现从全年级的生物成绩中随机抽取 $100$ 名学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布直方图如下图：

(1)、求图中 $a$ 的值；

(2)、从生物原始成绩为 $[60 ， 80)$ 的学生中用分层抽样的方法抽取 $6$ 人，从这 $6$ 人中任意抽取 $2$ 人，求 $2$ 人均在 $[70 ， 80)$ 的概率；

(3)、用样本估计总体的方法，估计该校本次生物成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的 $B$ 等级及以上（含 $B$ 等级）？（结果保留整数）

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21. 如图，在四棱锥 $E - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形， $B C = 2$ ， $B E = C E = \sqrt{2}$ ．

(1)、若平面 $C D E \cap$ 平面 $A B E = l$ ，证明： $A B / / l$ ；

(2)、若面 $E B C$ ⊥面 $A B C D$ ，求四棱锥 $E - A B C D$ 的侧面积．

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22. 已知函数 $y = φ (x)$ 的图象关于点 $P (a ， b)$ 成中心对称图形的充要条件是 $φ (a + x) + φ (a - x) = 2 b$ ．给定函数 $f (x) = x - \frac{6}{x + 1}$ 及其图象的对称中心为 $(- 1 ， c)$ ．

(1)、求c的值；

(2)、判断 $f (x)$ 在区间 $(0 ， + ∞)$ 上的单调性并用定义法证明；

(3)、已知函数 $g (x)$ 的图象关于点 $(1 ， 1)$ 对称，且当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $g (x) = x^{2} - m x + m$ ．若对任意 $x_{1} \in [0 ， 2]$ ，总存在 $x_{2} \in [1 ， 5]$ ，使得 $g (x_{1}) = f (x_{2})$ ，求实数m的取值范围．

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