广东省中山市2022-2023学年高二下学期期末数学试题

试卷更新日期：2023-07-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度（支持与不支持）的关系，运用2×2列联表进行独立性检验．经计算

χ^{2} = 6.058

，则所得到的统计学结论是：有（）的把握认为“学生性别与支持该活动有关系”．

$α$	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

A、2.5% B、1% C、97.5% D、99%

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2. 要判断成对数据的线性相关程度的强弱，可以通过比较它们的样本相关系数r的大小，以下是四组数据的相关系数的值，则线性相关最强的是（）

A、 $r_{1} = - 0.95$ B、 $r_{2} = - 0.55$ C、 $r_{3} = 0.45$ D、 $r_{4} = 0.85$

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3. 6名同学排成一排，其中甲、乙、丙三人必须在一起的不同排法共有（）

A、36种 B、72种 C、144种 D、720种

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4. 下列求导数计算错误的是（）

A、 ${(\frac{1}{x})}^{^{'}} = - \frac{1}{x^{2}}$ B、 ${(\frac{x^{2}}{e^{2 x}})}^{^{'}} = \frac{2 x - x^{2}}{e^{2 x}}$ C、 ${(x l n x)}^{^{'}} = l n x + 1$ D、 ${(t a n x)}^{^{'}} = \frac{1}{c o s^{2} x}$

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5. 一个盒子里装有大小相同的4个黑球和3个白球，从中不放回地取出3个球，则白球个数的数学期望是（）

A、 $\frac{4}{7}$ B、 $\frac{9}{7}$ C、 $\frac{12}{7}$ D、 $\frac{16}{7}$

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6. 已知随机变量 $ξ$ 服从正态分布，有下列四个命题：
甲： $P (ξ < a - 1) = P (ξ > 1 + a)$    乙： $P (ξ \leq a) = \frac{1}{2}$
丙： $P (ξ < a - 2) > P (ξ > 3 + a)$    丁： $P (a - 1 < ξ < 3 + a) < P (a < ξ < 4 + a)$
若这四个命题中有且只有一个是假命题，则该假命题为（   ）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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7. 设 $A_{n}$ ， $B_{n}$ 分别为等比数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和．若 $\frac{A_{n}}{B_{n}} = \frac{2^{n} + a}{3^{n} + b}$ （ $a$ ， $b$ 为常数），则 $\frac{a_{7}}{b_{4}} =$ （）

A、 $\frac{128}{81}$ B、 $\frac{127}{80}$ C、 $\frac{32}{27}$ D、 $\frac{27}{26}$

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8. 下列关于数列 ${{(1 + \frac{1}{n})}^{n}}$ 的判断中正确的是（）

A、对一切 $n \in N^{*}$ 都有 ${(1 + \frac{1}{n})}^{n} < {(1 + \frac{1}{n + 1})}^{n + 1} < 3$ B、对一切 $n \in N^{*}$ 都有 ${(1 + \frac{1}{n})}^{n} > {(1 + \frac{1}{n + 1})}^{n + 1} > 2$ C、对一切 $n \in N^{*}$ 都有 ${(1 + \frac{1}{n})}^{n} > {(1 + \frac{1}{n + 1})}^{n + 1}$ ，且存在 $n \in N^{*}$ 使 ${(1 + \frac{1}{n})}^{n} < 3$ D、对一切 $n \in N^{*}$ 都有 ${(1 + \frac{1}{n})}^{n} < {(1 + \frac{1}{n + 1})}^{n + 1}$ ，且存在 $n \in N^{*}$ 使 ${(1 + \frac{1}{n})}^{n} > 3$

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二、多选题

9. 函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则（）

A、 $x = \frac{1}{2}$ 为函数 $f (x)$ 的零点 B、 $x = 2$ 为函数 $f (x)$ 的极小值点 C、函数 $f (x)$ 在 $(\frac{1}{2} ， 2)$ 上单调递减 D、 $f (- 2)$ 是函数 $f (x)$ 的最小值

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10. 已知 $P (A) = \frac{1}{2} ， P (\bar{A} | B) = \frac{1}{3} ， P (B) = \frac{3}{4}$ ，则（）

A、 $P (A B) = \frac{3}{8}$ B、 $P (\bar{A} B) = \frac{1}{4}$ C、 $P (B | \bar{A}) = \frac{1}{2}$ D、 $P (A ∪ B) = \frac{3}{4}$

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11. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，公差 $d > 0$ ，则下列数列一定递增的是（）

A、 ${\frac{S_{n}}{n}}$ B、 ${n a_{n}}$ C、 ${\frac{a_{n}}{n}}$ D、 ${a_{n} + 3 n d}$

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12. 设 ${(2 x + 1)}^{7} = a_{0} + a_{1} (x + 1) + a_{2} {(x + 1)}^{2} + ⋯ + a_{7} {(x + 1)}^{7}$ ，下列结论正确的是（）

A、 $a_{0} + a_{2} + a_{4} + a_{6} = \frac{1 - 3^{7}}{2}$ B、 $a_{1} + a_{2} = - 70$ C、 $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + ⋯ + 7 a_{7} = 7$ D、在 $a_{0}$ ， $a_{1}$ ， …， $a_{7}$ 中， $a_{5}$ 最大

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三、填空题

13. 已知离散型随机变量X服从两点分布，且 $P (X = 0) = 3 - 4 P (X = 1)$ ，则随机变量X的方差为．

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14. 某人投篮命中的概率为0.3，投篮15次，最有可能命中次．

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15. 若函数 $f (x) = x l n x - x$ 在区间 $[\frac{1}{2} ， 2]$ 上最大值为 $M$ ，最小值为 $N$ ，则实数 $M - N =$ ．

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四、双空题

16. 杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载，它的开头几行如图所示，它包含了很多有趣的组合数性质，如果将杨辉三角从第1行开始的每一个数 $C_{n}^{r}$ 都换成分数 $\frac{1}{(n + 1) C_{n}^{r}}$ ，得到的三角形称为“莱布尼茨三角形”，莱布尼茨由它得到了很多定理，甚至影响到了微积分的创立，则“莱布尼茨三角形”第8行第5个数是；若 $S_{n} = \frac{1}{4} + \frac{1}{20} + \frac{1}{60} + \frac{1}{140} + ⋯ + \frac{1}{n C_{n - 1}^{n - 4}} + \frac{1}{(n + 1) C_{n}^{n - 3}} (n \geq 3)$ ，则 $S_{n} =$ (用含n的代数式作答).

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五、解答题

17. 在 ${(a x + \frac{1}{\sqrt[3]{x}})}^{n}$ 的展开式中，前三项的二项式系数之和等于79.

(1)、求 $n$ 的值；

(2)、若展开式中的常数项为 $\frac{55}{2}$ ，求 $a$ 的值.

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18. 已知函数 $f (x) = x l n (x + 2)$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、证明： $f (x) \geq - x - 1$ .

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19. 已知各项均为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2} a_{3} = a_{4}$ ， $3 a_{3} + 2 a_{4} = a_{5}$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = l o g_{3} a_{3 n}$ ，将数列 ${a_{n}}$ 与 ${b_{n}}$ 中的项合并在一起，按从小到大的顺序重新排列构成新数列 ${c_{n}}$ ，求 ${c_{n}}$ 的前50项的和．

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20. “业务技能测试”是量化考核员工绩效等级的一项重要参考依据．某公司为量化考核员工绩效等级设计了

A ， B

两套测试方案，现各抽取100名员工参加

A ， B

两套测试方案的预测试，统计成绩（满分100分），得到如下频率分布表．

成绩频率	$[25 ， 35)$	$[35 ， 45)$	$[45 ， 55)$	$[55 ， 65)$	$[65 ， 75)$	$[75 ， 85)$	$[85 ， 95]$
方案 $A$	0.02	0.11	0.22	0.30	0.24	0.08	0.03
方案 $B$	0.16	0.18	0.34	0.10	0.10	0.08	0.04

参考公式与数据：（1） $l n 3.32 \approx 1.2 ， l n 5.2 \approx 1.66 ， s \approx 20$ ．（2）线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中， $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} ， \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．（3）若随机变量 $X ∼ N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X < μ + σ) = 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) = 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ < X < μ + 3 σ) = 0.9973$ ．

(1)、从预测试成绩在

[85 ， 95]

的员工中随机抽取3人，求恰有1人参加测试方案

A

的概率；

(2)、由于方案

A

的预测试成绩更接近正态分布，该公司选择方案

A

进行业务技能测试．测试后，公司统计了若干部门测试的平均成绩

x

与绩效等级优秀率

y

，如下表所示：

$x$	32	41	54	68	74	80	92
$y$	0.28	0.34	0.44	0.58	0.66	0.74	0.94

根据数据绘制散点图，初步判断，选用 $y = λ e^{μ x}$ 作为回归方程．令 $z = l n y$ ，经计算得 $\bar{z} = - 0.642$ ， $\frac{\sum_{i = 1}^{7} x_{i} z_{i} - 7 \bar{x} \bar{z}}{\sum_{i = 1}^{7} x_{i}^{2} - 7 {\bar{x}}^{2}} \approx 0.02 ， l n 0.15 \approx - 1.9$ ．

（ⅰ）若某部门测试的平均成绩为60，则其绩效等级优秀率的预报值为多少？

（ⅱ）根据统计分析，大致认为各部门测试平均成绩 $x ∼ N (μ ， σ^{2})$ ，其中 $μ$ 近似为样本平均数 $\bar{x} ， σ^{2}$ 近似为样本方差 $s^{2}$ ，求某个部门绩效等级优秀率不低于0.78的概率为多少？

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21. 根据社会人口学研究发现，一个家庭有 $X$ 个孩子的概率模型为：
$X$
1
2
3
0
概率
$\frac{α}{p}$
$α$
$α (1 - p)$
$α (1 - p)^{2}$
其中 $α > 0 ， 0 < p < 1$ .每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为 $\frac{1}{2}$ 且相互独立，事件 $A_{i}$ 表示一个家庭有 $i$ 个孩子 $(i = 0 ， 1 ， 2 ， 3)$ ，事件 $B$ 表示一个家庭的男孩比女孩多（例如：一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩多）.

(1)、若 $p = \frac{1}{2}$ ，求 $α$ 和 $P (B)$ ；

(2)、为了调控未来人口结构，其中参数 $p$ 受到各种因素的影响（例如生育保险的增加，教育､医疗福利的增加等）.
①若希望 $P (X = 2)$ 增大，如何调控 $p$ 的值？
②是否存在 $p$ 的值使得 $E (X) = \frac{5}{3}$ ，请说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - l n (x + a) - 1$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、当 $a > 0$ 时，证明： $f (x)$ 存在唯一极值点 $x_{0}$ ，且 $f (x_{0}) + 2 | x_{0} | \geq 0$ .

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$X$	1	2	3	0
概率	$\frac{α}{p}$	$α$	$α (1 - p)$	$α (1 - p)^{2}$