浙江省嘉兴市2022-2023学年高一下学期期末数学试题

试卷更新日期：2023-07-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知复数z满足 $(1 - i) z = i$ (其中i为虚数单位)，则 $| z | =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

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2. 已知向量 $\vec{a} = (3 ， 1) ， \vec{b} = (- 2 ， m)$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则实数 $m$ 的值为（）

A、 $- \frac{3}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $- \frac{2}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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3. 如图，某四边形 $A B C D$ 的直观图是正方形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ，且 $A^{'} (1 ， 0) ， C^{'} (- 1 ， 0)$ ，则原四边形 $A B C D$ 的面积等于（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、4 D、 $4 \sqrt{2}$

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4. 如图，在 $△ A O D$ 中， $| \vec{O A} | > | \vec{O D} |$ ， $B ， C$ 分别在 $A D$ 上，且 $A B = B C = C D$ ，点 $P$ 为 $A D$ 的中点，则下列各值中最小的为（）

A、 $\vec{O P} \cdot \vec{O A}$ B、 $\vec{O P} \cdot \vec{O B}$ C、 $\vec{O P} \cdot \vec{O C}$ D、 $\vec{O P} \cdot \vec{O D}$

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5. 下列说法中正确的是（　　）

A、平行于同一直线的两个平面平行 B、垂直于同一直线的两个平面平行 C、平行于同一平面的两条直线平行 D、垂直于同一平面的两个平面平行

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6. 有6本不同的书，其中工具类､人物传记类和现代文学类各2本，现从中随机抽取2本，则恰好抽到2本不同种类书的概率为（）

A、 $\frac{5}{6}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{2}{3}$

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7. 已知在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = \frac{π}{3}$ ，点 $D$ 满足 $2 \vec{B D} = \vec{D C}$ ，且 $A D = 2$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ C、2 D、 $2 \sqrt{3}$

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8. 如图，棱长为3的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $G$ 在线段 $A C$ 上且 $| A G | = \sqrt{3}$ ，点 $E ， F ， H$ 分别为线段 $A_{1} B ， A_{1} G ， A_{1} A$ 上的动点，则空间四边形 $A F H E$ 周长的最小值为（）

A、 $\frac{3}{2} (1 + \sqrt{3})$ B、 $\frac{3}{2} (1 + \sqrt{6})$ C、 $\frac{3}{2} (\sqrt{2} + \sqrt{6})$ D、 $\frac{3}{2} (\sqrt{3} + \sqrt{6})$

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二、多选题

9. 给出下列命题，其中正确的是（）

A、若一组数据 $x_{i} (i = 1 ， 2 ， ⋯ ， 10)$ 的方差为2，则 $2 x_{i} - 1 (i = 1 ， 2 ， \dots ， 10)$ 的方差为3 B、给定五个数据 $5 ， 4 ， 3 ， 1 ， 3$ ，则这组数据的 $70 %$ 分位数是4 C、若事件 $A$ 与事件 $B$ 是相互独立事件，则有 $P (A B) = P (A) P (B)$ D、若事件 $A$ 与事件 $B$ 是对立事件，则有 $P (A + B) = P (A) + P (B)$

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10. 在 $△ A B C$ 中， $A = \frac{π}{6} ， A B = 2$ ，下列结论正确的是（）

A、若 $B C = \sqrt{2}$ ，则 $C = \frac{π}{4}$ B、若 $A C = \sqrt{3}$ ，则 $B C = 1$ C、若 $△ A B C$ 的面积 $S = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则该三角形为直角三角形 D、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $B C \in (1 ， \frac{2}{3} \sqrt{3})$

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11. 如图，棱长为 $1$ 的正方体中 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，下列结论正确的是（）

A、异面直线 $B_{1} D_{1}$ 与 $B C_{1}$ 所成的角为 $6 0^{∘}$ B、直线 $A_{1} C$ 与平面 $C_{1} C D D_{1}$ 所成的角为 $4 5^{∘}$ C、二面角 $B - C_{1} D - D_{1}$ 平面角的正切值为 $- \sqrt{2}$ D、点 $A_{1}$ 到平面 $B D C_{1}$ 的距离为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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12. 在 $△ A B C$ 中， $| \vec{B C} | = 2$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 1$ ，则 $B C$ 边上的中线长 $| \vec{A D} | = \sqrt{2}$ B、若 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} < 0$ ，则 $| \vec{A B} |^{2} + | \vec{A C} |^{2} < 4$ C、若 $t a n A = \frac{3}{4}$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为2 D、若 $| \vec{A B} | = 2 | \vec{A C} |$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为 $\frac{4}{3}$

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三、填空题

13. 若复数 $z = (a^{2} - 3 a + 2) + (a - 1) i$ （ $i$ 为虚数单位）为纯虚数，则实数 $a =$ .

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14. 甲乙两人下棋，每局甲获胜的概率均为0.6，且没有和棋，在三局两胜制的规则下（即先胜两局者获得最终胜利），则甲获胜的概率为.

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15. 海伦不仅是古希腊的数学家，还是一位优秀的测绘工程师，在他的著作《测地术》中最早出现了已知三边求三角形面积的公式，即著名的海伦公式 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ （其中 $p = \frac{1}{2} (a + b + c)$ ）， $a ， b ， c$ 分别为 $△ A B C$ 的三个内角 $A ， B ， C$ 所对的边，该公式具有轮换对称的特点，形式很美.已知在 $△ A B C$ 中， $a = 2 ， b = 3 ， c = 4$ ，则该三角形内切圆的半径为.

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16. 如图，在直角梯形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 9 0^{∘} ， A B = A D = 1 ， C D = 2$ ，将 $△ A B D$ 沿 $B D$ 翻折成 $△ A^{'} B D$ ，使二面角 $A^{'} - B D - C$ 为 $6 0^{∘}$ ，则三棱锥 $A^{'} - B C D$ 外接球的表面积为.

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四、解答题

17. 已知平面向量 $\vec{a} ， \vec{b} ， | \vec{a} | = 2 ， | \vec{b} | = \sqrt{3}$ ，且 $\vec{b} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 0$ .

(1)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ$ 的值；

(2)、当 $| \vec{b} - λ \vec{a} |$ 取得最小值时，求实数 $λ$ 的值.

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18. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $a = 2$ ，请在① $(s i n A - s i n C)^{2} = s i n^{2} B - s i n A s i n C$ ；② $b c o s C + \frac{1}{2} c = 2$ ；
这两个条件中任选一个，完成下列问题：

注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答记分.

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若 $b = 2$ ，点 $D$ 在 $B C$ 的延长线上，且 $B C = 2 C D$ ，求 $A D$ 的长.

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19. 已知在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $A B ⊥ B C ， A D / / B C$ ， $A C \cap B D = O ， A B = \sqrt{3} ， B C = 1 ， A D = 2 ， P A = 1$ .

(1)、求点 $A$ 到平面 $P B C$ 的距离；

(2)、若 $\vec{C Q} = λ \vec{C P}$ ，且 $P A$ $∥$ 平面 $B D Q$ ，求实数 $λ$ 的值.

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20. 1981年，在大连召开的第一届全国数学普及工作会议上，确定将数学竞赛作为中国数学会及各省､市､自治区数学会的一项经常性工作，每年10月中旬的第一个星期日举行“全国高中数学联合竞赛”，竞赛分为一试（满分120分）和二试（满分180分），在这项竞赛中取得优异成绩的学生有资格参加由中国数学会奥林匹克委员会主办的“中国数学奥林匹克（CMO）暨全国中学生数学冬令营”（每年11月），已知某地区有50人参加全国高中数学联赛，其取得的一试成绩绘制成如图所示的频率分布直方图.

(1)、根据频率分布直方图估计学生成绩的平均数a和中位数b的值（同一组数据用该组区间的中点值代替）；

(2)、若成绩在100分及以上的试卷需要主委会抽样进行二次审阅，评审员甲根据上表在此地区100分以上的试卷中根据分层抽样的原则抽取3份进行审阅，已知A同学的成绩是105分，E同学的成绩是111分，求这两位同学的试卷同时被抽到的概率.

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21. 如图，已知等腰梯形 $A B C D$ 与矩形 $B D E F$ 所在平面互相垂直， $A B = A D = C D = 1$ ， $∠ A B C = \frac{π}{3}$ .

(1)、求证：平面 $C D E ⊥$ 平面 $B D E F$ ；

(2)、设二面角 $B - C E - D$ 的大小为 $α ， A F$ 与平面 $B D E F$ 所成的角为 $β$ ，若 $α$ 与 $β$ 满足 $t a n α \cdot t a n β = \frac{\sqrt{42}}{7}$ ，求 $B F$ 的长.

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22. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，其面积为 $S$ ，满足 $\sqrt{3} \vec{C A} \cdot \vec{C B} + 2 S = \sqrt{3} a b$ .

(1)、若 $c = 2$ ，求 $\sqrt{2} | \vec{C A} + \vec{C B} | - \vec{C A} \cdot \vec{C B}$ 的最大值；

(2)、若 $5 b^{2} - 3 a^{2} = 6$ ，求 $c$ 的最小值.

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