浙江省台州市2022-2023学年高一下学期期末数学试题

试卷更新日期：2023-07-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 复数 $- 1 - 2 i$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， m)$ ， $\vec{b} = (2 ， - 1)$ ，且 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则实数 $m =$ （）

A、-2 B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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3. 我国南宋数学家秦九韶，发现了三角形面积公式，即 $S = \frac{1}{2} \sqrt{c^{2} a^{2} - {(\frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2})}^{2}}$ ，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积.若某三角形三边a，b，c，满足 $b = 1$ ， $c a = 1$ ，则该三角形面积S的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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4. 已知表面积为 $27 π$ 的圆锥的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为（）

A、3 B、 $3 \sqrt{2}$ C、6 D、 $4 \sqrt{3}$

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5. 一个袋子中装有大小和质地相同的5个球，其中有2个黄色球，3个红色球，从袋中不放回的依次随机摸出2个球，则事件“两次都摸到红色球”的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{3}{10}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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6. 抛掷一枚骰子5次，记录每次骰子出现的点数，已知这些点数的平均数为2且出现点数6，则这些点数的方差为（）

A、3.5 B、4 C、4.5 D、5

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7. 正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 平面 $B_{1} B C C_{1}$ ， $A B = 2 A_{1} B_{1}$ ，则异面直线 $A B_{1}$ 与 $B C_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{21}}{5}$

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中，D是BC的中点，E是AC上的点， $A C = 2 A B$ ， $C D = 1$ ， $A E = 3 E C$ ， $∠ A D B = ∠ E D C = α$ ，则 $c o s α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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二、多选题

9. 已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A、B，满足 $n (Ω) = 32$ ， $n (A) = 16$ ， $n (B) = 8$ ， $n (A \cup B) = 20$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $P (A) = \frac{1}{2}$ B、 $P (A B) = \frac{1}{8}$ C、A与B互斥 D、A与B相互独立

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10. 已知 $m$ ， $n$ ， $l$ 是空间中三条不同直线， $α$ ， $β ，$ ， $γ$ 是空间中三个不同的平面，则下列命题中正确的是（）

A、若 $m \subset α$ ， $m ∥ β$ ， $n \subset β$ ， $n ∥ α$ ，则 $α ∥ β$ B、若 $α ∩ β = m$ ， $α ∩ γ = n$ ， $β ∩ γ = l$ ， $m ∥ n$ ，则 $m ∥ l$ C、若 $α ⊥ β$ ， $α ⊥ γ$ ， $β ∩ γ = m$ ，则 $m ⊥ α$ D、若 $α ∩ β = m$ ， $α ⊥ β$ ， $n ⊥ m$ ，则 $n ⊥ β$

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11. 如图，在平行四边形ABCD中， $∠ B = 60 °$ ， $B C = 2 A B = 2$ ，点E是边AD上的动点（包含端点），则下列结论正确的是（）

A、当点E是AD的中点时， $\vec{B D} = \vec{B E} + \frac{1}{2} \vec{B C}$ B、存在点 $E$ ，使得 $(\vec{B A} - \frac{1}{2} \vec{B C}) ⊥ \vec{C E}$ C、 $\vec{E B} \cdot \vec{E C}$ 的最小值为 $- \frac{1}{4}$ D、若 $\vec{C E} = x \vec{C B} + y \vec{C D}$ ， $x ， y \in R$ ，则 $x + 2 y$ 的取值范围是 $[2 ， 3]$

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12. 四面体ABCD中， $A B = B C = C D = D A = B D = 2$ ， $A C = m$ ，则有（）

A、存在 $m$ ，使得直线CD与平面ABC所成角为 $\frac{π}{3}$ B、存在 $m$ ，使得二面角 $A - B C - D$ 的平面角大小为 $\frac{π}{3}$ C、若 $m = 2$ ，则四面体ABCD的内切球的体积是 $\frac{\sqrt{6} π}{27}$ D、若 $m = 3$ ，则四面体ABCD的外接球的表面积是 $\frac{28 π}{3}$

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三、填空题

13. 已知复数 $z = 1 - i$ （i为虚数单位），则 $| z | =$ .

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14. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 棱长为3，在正方体的顶点中，到平面 $A_{1} D B$ 的距离为 $\sqrt{3}$ 的顶点可能是.（写出一个顶点即可）

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15. 在 $△ A B C$ 中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知 $B = θ$ ， $b = \sqrt{2}$ ， $c = 2$ ，若 $△ A B C$ 有两解，则 $θ$ 的取值范围是.

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16. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 均为非零向量， $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c} = \frac{1}{4} {\vec{a}}^{2}$ ，且 $| \vec{a} + \vec{c} + 2 \vec{b} | = k | \vec{a} |$ ， $k \in R$ ，则 $k$ 的最小值为.

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四、解答题

17. 已知复数 $z = 2 - i$ ， $i$ 为虚数单位.

(1)、求 $z^{2}$ ；

(2)、若 $z$ 是关于 $x$ 的方程 $2 x^{2} + p x + q = 0 (p ， q \in R)$ 一个根，求p，q的值.

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18. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是非零向量，① $| \vec{a} | = \sqrt{3} | \vec{b} |$ ；② $〈 \vec{a} ， \vec{b} 〉 = \frac{π}{6}$ ；③ $| \vec{a} - \vec{b} | = | \vec{b} |$ .

(1)、从①②③中选取其中两个作为条件，证明另外一个成立；（注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.）

(2)、在①②的条件下， $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - λ \vec{b})$ ，求实数 $λ$ .

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19. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A A_{1} = A C = 2$ ， D为AC的中点.

(1)、求证： $A B_{1} / /$ 平面 $C_{1} D B$ ；

(2)、求三棱锥 $B_{1} - D B C_{1}$ 体积的最大值.

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20. 第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，为了弘扬奥林匹克和亚运精神，某学校对全体高中学生组织了一次关于亚运会相关知识的测试.从全校学生中随机抽取了100名学生的成绩作为样本进行统计，测试满分为100分，并将这100名同学的测试成绩分成5组，绘制成了如图所示的频率分布直方图.

(1)、求频率分布直方图中 $t$ 的值，并估计这100名学生的平均成绩；

(2)、用样本频率估计总体，如果将频率视为概率，从全校学生中随机抽取3名学生，求3名学生中至少有2人成绩不低于80分的概率.

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21. 在锐角 $△ A B C$ 中，a，b，c分别为角A，B，C的对边， $b = \frac{2}{5} \times \frac{a^{2} c o s C - c^{2} c o s A}{a - c}$ .

(1)、求证： $2 b = a + c$ ；

(2)、求 $s i n B$ 的取值范围.

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22. 如图，平面 $A D E F ⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A D E F$ 为矩形，且 $M$ 为线段 $E F$ 上的动点， $A B / / C D$ ， $∠ A B C = 9 0^{∘}$ ， $A D = 2 D E$ ， $A B = 2 C D = 2 B C = 2$ .

(1)、当 $M$ 为线段 $E F$ 的中点时，
（i）求证： $A M ⊥$ 平面 $B D M$ ；
（ii）求直线 $A M$ 与平面 $M B C$ 所成角的正弦值；

(2)、记直线 $A M$ 与平面 $M B C$ 所成角为 $α$ ，平面 $M A D$ 与平面 $M B C$ 的夹角为 $β$ ，是否存在点 $M$ 使得 $α = β$ ?若存在，求出 $F M$ ；若不存在，说明理由.

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