广东省揭阳市2022-2023学年高二下学期期末数学试题

试卷更新日期：2023-07-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 1 < x < 5}$ ， $B = {x | x^{2} > 3 x + 4}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | - 1 < x < 4}$ B、 ${x | x < 5$ 且 $x \neq 1}$ C、 ${x | 4 < x < 5}$ D、 ${x | 1 < x < 5}$

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2. 已知空间向量 $\vec{a} = (1 ， 2 ， - 2)$ ， $\vec{b} = (3 ， λ ， μ - 1)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $λ + μ =$ （）

A、1 B、 $- 1$ C、2 D、 $- 2$

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3. $(1 + 2 x + x^{2})^{5}$ 的展开式中 $x^{6}$ 的系数为（）

A、200 B、210 C、220 D、240

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4. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，若矩形的四个顶点都在 $C$ 上，则称 $C$ 为矩形的外接椭圆，已知边长为4的正方形 $A B C D$ 的外接椭圆的短轴长为 $2 \sqrt{6}$ ，则 $C$ 的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{6} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{6} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{6} = 1$

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5. 已知变量x，y的一组相关数据如下表：

x

1

2

3

4

5

y

2.1

a

1.5a

9

10.9

若x，y具有较强的线性相关关系，其经验回归方程为 $\hat{y} = 2 x + 1$ ，则实数 $a =$ （）

A、4.9 B、5 C、5.1 D、5.2

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6. 已知数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数， $b_{n} = a_{n}^{2}$ ，数列 ${b_{n}}$ 为等差数列，其前n项和为 $S_{n}$ ， $b_{2} = 8$ ， $S_{10} = 150$ ，则 $a_{16} =$ （）

A、6 B、7 C、 $5 \sqrt{2}$ D、 $6 \sqrt{2}$

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7. 已知圆锥SA的轴截面是边长为 $2 \sqrt{3}$ 的等边三角形，顶点S和底面圆周上的所有点都在球O的球面上，则球O的体积为（）

A、 $4 \sqrt{3} π$ B、 $\frac{32}{3} π$ C、 $\frac{20 \sqrt{5}}{3} π$ D、 $\frac{28 \sqrt{7}}{3} π$

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8. 公元9世纪，阿拉伯计算家哈巴什首先提出正割和余割概念，1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用sec（角）表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用csc（角）表示，则 $\sqrt{3} c s c 2 0^{∘} - s e c 2 0^{∘} =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、4 D、8

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二、多选题

9. 已知直线l： $3 x + 2 y + m = 0$ ，圆C： $x^{2} + y^{2} + 4 x - y + \frac{1}{4} = 0$ ，则下列说法错误的是（）

A、若 $m = 5 + \sqrt{13}$ 或 $5 - \sqrt{13}$ ，则直线l与圆C相切 B、若 $m = 5$ ，则圆C关于直线l对称 C、若圆E： $x^{2} + y^{2} + \frac{5}{2} x - 2 y - \frac{5}{8} m = 0$ 与圆C相交，且两个交点所在直线恰为l，则 $m = 2$ D、若 $m > 5$ ，圆C上有且仅有两个点到l的距离为1，则 $5 + \sqrt{13} < m < 5 + 3 \sqrt{13}$

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10. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ， $s i n B = \frac{\sqrt{23}}{12}$ ， $c = 2$ ， $b = \sqrt{2}$ ，则（）

A、 $s i n C = \frac{\sqrt{46}}{12}$ B、 $c o s B = - \frac{11}{12}$ C、 $a = 3$ D、 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{23}}{18}$ 或 $\frac{\sqrt{23}}{4}$

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11. 某商场同时销售编号为1，2，3的三家公司生产的紫外线消毒灯，一年中销售这三家公司该产品的数量之比为 $3 ： 4 ： 2$ ．为更好地做好今后的销售工作，该商场对这一年中购买紫外线消毒灯的顾客进行了电话调查，统计得到购买编号为1，2，3的三家公司生产的紫外线消毒灯的顾客满意度分别为93%，90%，90%．现从这些顾客中随机抽取一名顾客进行详细回访，记 $A_{i} =$ “顾客购买编号为i的公司生产的紫外线消毒灯” $(i = 1 ， 2 ， 3)$ ， $B =$ “顾客对紫外线消毒灯满意”，则（）

A、 $P (A_{2}) < P (B | A_{2})$ B、 $P (B) = 91 %$ C、 $P (A_{1} | B) = \frac{31}{90}$ D、 $P (B | A_{3}) = 90 %$

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12. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ， $g (x) = f^{'} (x)$ ， $g (1) = 1$ ，且 $f (x + 1)$ 为奇函数， $g (x - 1)$ 为偶函数，则（）

A、 $f (1) = 0$ B、 $g (- 3) = 0$ C、 $g (2025) = 1$ D、 $g (21) = 0$

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三、填空题

13. 已知命题p：对 $\forall x \in R$ ， $3 x^{2} - 2 \sqrt{2} x + a \geq 0$ ，若p为真命题，则实数a的最小值是．

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14. 曲线 $f (x) = (3 x + 2) l n x + 1$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程为．

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15. 为备战第47届世界技能大赛，经过层层选拔，来自A，B，C，D四所学校的6名选手进入集训队，其中有3人来自A学校，其余三所学校各1人，由于集训需要，将这6名选手平均分为三组，则恰有一组选手来自同一所学校的分组方案有种．（用数字作答）

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16. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $P$ 在 $C$ 的左支上， $| \vec{P F_{2}} | = 3 a$ ， $| \vec{P F_{1}} + \vec{P F_{2}} | = 2 b$ ，则 $C$ 的离心率为．

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四、解答题

17. 飞盘起源于上世纪50年代，是一项融合了足球、篮球、美式橄榄球等多个项目的运动．某大学生俱乐部为了了解该市大学生对飞盘运动的喜爱程度，在该市所有高等院校中进行问卷调查，并从中随机抽取了200份，整理得到如下列联表：

		飞盘运动
		喜欢	不喜欢
性别	男生	70	50
性别	女生	35	45

附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ．

$α$	0.05	0.01	0.005
$x_{α}$	3.841	6.635	7.879

(1)、分别求出该市男、女大学生中喜欢飞盘运动的概率；

(2)、根据小概率值

a = 0.05

的独立性检验，能否认为是否喜欢飞盘运动与性别有关联？

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数， $a_{1} = 1$ ，给出以下三个条件：
① $a_{n + 2} = 4 a_{n}$ ；② ${a_{n}}$ 为等比数列；③ $a_{n} a_{n + 2} = 4^{n}$ ．

注：若选择不同的组合分别解答，按第一个解答计分．

(1)、从这三个条件①②③中选择两个条件，证明另一个条件成立；

(2)、求数列 ${a_{n} \cdot l o g_{2} a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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19. 为积极发展生态低碳农业，某农业大学实验基地进行绿色农业种植实验，已知该基地引进了营养价值较高的A品种黄豆，统计了近几年的产量及市场售价情况（市场售价与产量相互独立），得到了如图①②所示的频率分布直方图（每组数据用该组区间的中点值为代表）：

(1)、若不考虑其他因素，设A品种黄豆明年的收入为 $X$ 元，求 $X$ 的分布列；；

(2)、已知A品种黄豆人工种植及管理费用和其他黄豆相当，不考虑其他因素，若明年A品种黄豆的收入不低于520元，则后年可大面积推广种植A品种黄豆．请根据统计学知识预测后年能否大面积推广种植A品种黄豆，并说明理由．

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $A B ⊥ A D$ ， $P A ⊥ A D$ ， $A B = 2 P A = 2 \sqrt{3}$ ， $B C = 3 A D = 6$ ， $P C = \sqrt{51}$ ．

(1)、证明：平面 $P A C ⊥$ 平面PBD；

(2)、求平面PBC与平面PCD的夹角的余弦值．

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21. 已知函数 $f (x) = a e^{x} + x - 1$ ，其中 $a \in R$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $a = 1$ ，函数 $g (x) = e^{x} f (x)$ ，证明： $g (x)$ 的极小值恒大于 $- \frac{3}{4}$ ．

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22. 已知抛物线 $C ：$ $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F (1 ， 0)$ ，点 $M$ 在直线 $x = - 2$ 上运动，直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 经过点 $M$ ，且与 $C$ 分别相切于 $A ， B$ 两点．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、试问直线 $A B$ 是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．

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x	1	2	3	4	5
y	2.1	a	1.5a	9	10.9