浙江省绍兴市奉化区2022-2023学年高一下学期期末数学试题

试卷更新日期：2023-07-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 3)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， - 2)$ ，则 $2 \vec{a} - \vec{b} =$ （）

A、 $(3 ， 5)$ B、 $(- 5 ， - 7)$ C、 $(5 ， 8)$ D、 $(3 ， 4)$

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2. 复数 $z = a i + b (a ， b \in R)$ 是纯虚数的充分不必要条件是（）

A、 $a \neq 0$ 且 $b = 0$ B、 $b = 0$ C、 $a = 1$ 且 $b = 0$ D、 $a = b = 0$

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3. 水平放置的 $△ A B C$ 有一边在水平线上，它的斜二测直观图是边长为2的正 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，则 $△ A B C$ 的面积是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{6}$ D、 $\sqrt{6}$

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4. 某市场供应的电子产品中，甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%.若从该市场供应的电子产品中任意购买甲、乙厂各一件电子产品，则这两件产品都不是合格品的概率为（）

A、2% B、30% C、72% D、26%

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5. 设m，n是不同的直线， $a ， β$ 是不同的平面，则下列命题正确的是（）

A、 $m ⊥ n ， n / / α$ ，则 $m ⊥ α$ B、 $m / / β ， β ⊥ α$ ，则 $m ⊥ α$ C、 $m ⊥ α ， α ⊥ β$ ，则 $m / / β$ D、 $m ⊥ α ， m ⊥ β$ ，则 $α / / β$

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6. 若数据 $x_{1} + m$ 、 $x_{2} + m$ 、 $⋯$ 、 $x_{n} + m$ 的平均数是5，方差是4，数据 $3 x_{1} + 1$ 、 $3 x_{2} + 1$ 、 $⋯$ 、 $3 x_{n} + 1$ 的平均数是10，标准差是 $s$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $m = 2$ ， $s = 6$ B、 $m = 2$ ， $s = 36$ C、 $m = 4$ ， $s = 6$ D、 $m = 4$ ， $s = 36$

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7. 在锐角 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 $c - b = 2 b c o s A$ .若 $λ s i n A - c o s (C - B) < 2$ 恒成立，则实数 $λ$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， 2 \sqrt{2}]$ B、 $(- \infty ， 2 \sqrt{2})$ C、 $(- \infty ， \frac{5 \sqrt{3}}{3}]$ D、 $(- \infty ， \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

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8. $\vec{e_{1}} ， \vec{e_{2}}$ 均为单位向量，且它们的夹角为45°，设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} + \vec{e_{2}} | = \frac{\sqrt{2}}{4} ， \vec{b} = \vec{e_{1}} + k \vec{e_{2}} (k \in R)$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} |$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$

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二、多选题

9. 若复数 $z = \sqrt{3} - i$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $z$ 在复平面内对应的点位于第四象限 B、 $| z | = 4$ C、 $z^{2} = 4 - 2 \sqrt{3} i$ D、 $z$ 的共轭复数 $\bar{z} = \sqrt{3} + i$

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10. PM2.5的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一.划分等级为：PM2.5日均值在 $35 μ g / m^{3}$ 以下，空气质量为一级：PM2.5日均值在 $35 ~ 75 μ g / m^{3}$ ，空气质量为二级：PM2.5日均值超过 $75 μ g / m^{3}$ 为超标.如图是某地12月1日至10日PM2.5的日均值（单位： $μ g / m^{3}$ ）变化的折线图，关于PM2.5日均值说法正确的是（）

A、这10天的日均值的80%分位数为60 B、前5天的日均值的极差小于后5天的日均值的极差 C、这10天的日均值的中位数为41 D、前5天的日均值的方差小于后5天的日均值的方差

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11. 记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $c o s A = \frac{3}{4}$ ， $C = 2 A$ ，则（）

A、 $△ A B C$ 为钝角三角形 B、 $C$ 为最大的内角 C、 $a ： b ： c = 4 ： 5 ： 6$ D、 $A ： B ： C = 2 ： 3 ： 4$

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12. 如图，在多面体中 $A B D C E$ ， $B A$ ， $B C$ ， $B D$ 两两垂直，四面体 $A E C D$ 是正四面体， $F$ ， $G$ 分别为 $A E$ ， $C D$ 的中点，则下列结论正确的是（）

A、 $B A = B C = B D$ B、 $F G / / A B$ C、 $B D / /$ 平面 $A C E$ D、 $B E ⊥ C D$

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三、填空题

13. 现有三张卡片，分别写有“1”､“2”､“3”这三个数字．将这三张卡片随机排序组成一个三位数，则该三位数是奇数的概率是．

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14. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A = P B = P C = 8$ ， $∠ A P B = ∠ A P C = ∠ B P C = 40 °$ ，过点A作截面，分别交侧棱PB，PC于E，F两点，则△AEF周长的最小值为．

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15. 体积为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ 的三棱锥 $P - A B C$ 的顶点都在球 $O$ 的球面上， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $P A = 2$ ， $∠ B A C = \frac{2 π}{3}$ ， $A B = 1$ ，则球 $O$ 的表面积为．

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16. 德国机械学家莱洛设计的菜洛三角形在工业领域应用广泛．如图，分别以等边三角形 $A B C$ 的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形．若该等边三角形 $A B C$ 的边长为 $1$ ， $P$ 为弧 $A B$ 上的一个动点，则 $\vec{P A} \cdot (\vec{P B} + \vec{P C})$ 的最小值为．

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四、解答题

17. 已知复数 $z = (2 m^{2} - 7 m + 6) + (m^{2} - m - 2) i (m \in R)$ .

(1)、若复数 $z$ 为纯虚数，求实数 $m$ 的值；

(2)、若复数 $z$ 在复平面内对应的点在第四象限，求实数 $m$ 的取值范围.

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18. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别 $a ， b ， c$ ，且 $b c o s A + a c o s B = 2 c c o s A$

(1)、求角A的值；

(2)、已知 $D$ 在边 $B C$ 上，且 $B D = 3 D C ， A D = 3$ ，求 $△ A B C$ 的面积的最大值

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 为正方形， $P A = A B = 4$ ， G为 $P D$ 中点.

(1)、求证： $A G ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求直线 $A C$ 与平面 $P C D$ 所成角．

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20. 根据空气质量指数（AQI，为整数）的不同，可将空气质量分级如下表：

AQI	$[0 ， 50]$	$(50 ， 100]$	$(100 ， 150]$	$(150 ， 200]$	$(200 ， 250]$	$(250 ， 300]$
级别	一级	二级	三级	四级	五级（A）	五级（B）

现对某城市30天的空气质量进行监测，获得30个AQI数据（每个数据均不同），统计绘得频率分布直方图如图所示．

(1)、请由频率分布直方图来估计这30天AQI的平均数；

(2)、若从获得的“一级”和“五级（B）”的数据中随机选取2个数据进行复查，求“一级”和“五级（B）”数据恰均被选中的概率；

(3)、假如企业每天由空气污染造成的经济损失S（单位：元）与AQI（记为

ω

）的关系式为

S = {\begin{array}{l} 0 ， 0 \leq ω \leq 100 \\ 4 ω - 400 ， 100 < ω \leq 300 \end{array}

．若将频率视为概率，在本年内随机抽取一天，试估计这天的经济损失S不超过600元的概率．

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21. 如图，为测量鼓浪屿郑成功雕像 $A B$ 的高度及取景点 $C$ 与 $F$ 之间的距离（ $B$ ､ $C$ ､ $D$ ､ $F$ 在同一水平面上，雕像垂直该水平面于点 $B$ ，且 $B$ ､ $C$ ､ $D$ 三点共线），某校研究性学习小组同学在 $C$ ､ $D$ ､ $F$ 三点处测得顶点 $A$ 的仰角分别为 $45 °$ ､ $30 °$ ､ $30 °$ ，若 $∠ F C B = 60 °$ ， $C D = 16 (\sqrt{3} - 1)$ 米.

(1)、求雕像 $A B$ 的高度；

(2)、求取景点 $C$ 与 $F$ 之间的距离.

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22. 如图，直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A B C D$ 是菱形， $E$ 是 $A_{1} D_{1}$ 的中点， $F$ 为线段 $B C$ 上一点， $A B = 2$ ， $A A_{1} = 1$ ， $∠ B A D = 60 °$ ．

(1)、证明：当 $B F = F C$ 时， $D_{1} F$ ∥平面 $A E B$ ；

(2)、若 $B F = \frac{1}{4} B C$ ，求二面角 $A - D E - F$ 的余弦值

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