广东省深圳市2022-2023学年高二下学期期末数学试题

试卷更新日期：2023-07-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2} ， B = {x | 0 < x < 3}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${- 1 ， 1}$ B、 ${1 ， 2}$ C、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ D、 ${0 ， 1 ， 2}$

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2. 若复数 $z$ 满足 $(1 + i) z = 4 - 2 i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z$ 的共轭复数 $\bar{z} =$ （）

A、 $3 + i$ B、 $3 - i$ C、 $1 + 3 i$ D、 $1 - 3 i$

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3. 已知 $t a n α = 2$ ，则 $c o s 2 α =$ （）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $- \frac{4}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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4. 已知 $\vec{a} = (- 2 ， 1) ， \vec{b} = (x ， - 2)$ ，若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、1 B、-1 C、4 D、-4

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5. 白酒又名烧酒､白干，是世界六大蒸馏酒之一，据《本草纲目》记载：“烧酒非古法也，自元时创始，其法用浓酒和糟入甑（蒸锅），蒸令气上，用器承滴露”，而饮用白酒则有专门的白酒杯，图1是某白酒杯，可将它近似的看成一个圆柱挖去一个圆台构成的组合体，图2是其直观图（图中数据的单位为厘米），则该组合体的体积为（）

A、 $\frac{55 π}{6} c m^{3}$ B、 $\frac{51 π}{6} c m^{3}$ C、 $\frac{47 π}{6} c m^{3}$ D、 $\frac{43 π}{6} c m^{3}$

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6. 已知正实数m，n满足 $m + n = 2$ ，则下列不等式恒成立的为（）

A、 $l n m + l n n \geq 0$ B、 $m^{2} + n^{2} ≤ 2$ C、 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} \geq 2$ D、 $\sqrt{m} + \sqrt{n} \leq \sqrt{2}$

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7. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，过原点的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，若 $A F ⊥ B F$ ，且 $| A F | = 3 | B F |$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{3}$

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8. 已知点 $A$ 在直线 $x = 2$ 上运动，若过点 $A$ 恰有三条不同的直线与曲线 $y = x^{3} - x$ 相切，则点 $A$ 的轨迹长度为（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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二、多选题

9. 某校举办数学文化节活动，10名教师组成评委小组，给参加数学演讲比赛的选手打分.已知各位评委对某名选手的打分如下：
$\begin{array}{l} 45 & 48 & 46 & 52 & 47 & 49 & 43 & 51 & 47 & 45 \end{array}$

则下列结论正确的为（）

A、平均数为48 B、极差为9 C、中位数为47 D、第75百分位数为51

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10. 已知函数 $f (x) = c o s (2 x + φ) (0 < φ < \frac{π}{2})$ 的图像关于直线 $x = - \frac{π}{6}$ 对称，则（）

A、 $f (\frac{π}{6}) = - \frac{1}{2}$ B、 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{4} ， \frac{π}{6})$ 单调递减 C、 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2})$ 恰有一个极大值点 D、 $f (x)$ 在区间 $(0 ， \frac{π}{3})$ 有两个零点

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11. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，过 $F$ 的一条直线与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，若点 $M$ 在 $l$ 上运动，则（）

A、当 $| A M | = | A F |$ 时， $A M ⊥ l$ B、当 $| A M | = | A F | = | M F |$ 时， $| A F | = 2 | B F |$ C、当 $M A ⊥ M B$ 时， $A ， M ， B$ 三点的纵坐标成等差数列 D、当 $M A ⊥ M B$ 时， $| A M | \cdot | B M | \geq 2 | A F | \cdot | B F |$

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12. 在四面体 $A B C D$ 中，有四条棱的长度为1，两条棱的长度为 $m$ ，则（）

A、当 $A B = A D = m$ 时， $A C ⊥ B D$ B、当 $A B = C D = m$ 时，四面体 $A B C D$ 的外接球的表面积为 $\frac{(m^{2} + 2) π}{2}$ C、 $m$ 的取值范围为 $(0 ， \sqrt{2})$ D、四面体 $A B C D$ 体积的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{12}$

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三、填空题

13. ${(x + \frac{1}{x^{2}})}^{6}$ 的展开式中常数项是（用数字作答）

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14. 记 $S_{n}$ 为等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{3} - a_{1} = 3$ ， $a_{4} - a_{2} = 6$ ，则 $S_{5} =$ .

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15. 已知定义在 $R$ 上的函数 $y = f (x)$ ，满足 $f (x) = 2 f (x + 2)$ ，当 $x \in (0 ， 2]$ 时， $f (x) = 4 x (2 - x)$ ，若方程 $f (x) = a$ 在区间 $(\frac{11}{2} ， + ∞)$ 内有实数解，则实数 $a$ 的取值范围为.

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四、双空题

16. 已知线段 $A B$ 是圆 $C ： (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 4$ 上的一条动弦，且 $| A B | = 2 \sqrt{3}$ ，设点 $O$ 为坐标原点，则 $| \vec{O A} + \vec{O B} |$ 的最大值为；如果直线 $l_{1} ： x - m y - 3 m + 1 = 0$ 与 $l_{2} ： m x + y + 3 m + 1 = 0$ 相交于点 $M$ ，则 $\vec{M A} \cdot \vec{M B}$ 的最小值为.

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五、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1 ， a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{a_{n} + 1} (n \in N^{*})$ .

(1)、证明：数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 是等差数列，并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = a_{n} a_{n + 1}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 记 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $b c o s A + \frac{1}{2} a = c$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $c = 2 a$ ，且 $b = 3 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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19. 如图，已知三棱锥 $P - A B C$ 的三个顶点 $A ， B ， C$ 在圆 $O$ 上， $A B$ 为圆 $O$ 的直径， $△ P A C$ 是边长为2的正三角形，且平面 $P B C ⊥$ 平面 $P A C$ .

(1)、证明：平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若 $B C = 2 \sqrt{3}$ ，点 $E$ 为 $P B$ 的中点，点 $F$ 为圆 $O$ 上一点，且 $F$ 与 $C$ 位于直径 $A B$ 的两侧，当 $E F$ $∥$ 平面 $P A C$ 时，求平面 $E F B$ 与平面 $A B C$ 的夹角的余弦值.

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20. 甲参加某多轮趣味游戏，在

A ， B

两个不透明的盒内摸球.规定在一轮游戏中甲先在

A

盒内随机取出1个小球放入

B

盒，再在

B

盒内陏机取出2个小球，若每轮游戏的结果相互独立，且每轮游戏开始前，两盒内小球的数量始终如下表（小球除颜色外大小质地完全相同）：

	红球	蓝球	白球
$A$ 盒	2	2	1
$B$ 盒	2	2	1

(1)、求在一轮游戏中甲从

A ， B

两盒内取出的小球均为白球的概率；

(2)、已知每轮游戏的得分规则为：若从

B

盒内取出的小球均为红球，则甲获得5分；若从

B

盒内取出的小球中只有1个红球，则甲获得3分；若从

B

盒内取出的小球没有红球，则甲获得1分.

（i）记甲在一轮游戏中的得分为 $X$ ，求 $X$ 的分布列；

（ii）假设甲共参加了5轮游戏，记5轮游戏甲的总得分为 $Y$ ，求 $E (Y)$ .

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21. 已知 $f (x) = a x e^{2 x} (a \in R)$ .

(1)、当 $a \neq 0$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) - 2 x - l n x \geq 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{2}$ ，且 $C$ 的一个焦点到其一条渐近线的距离为1.

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、设点 $A$ 为 $C$ 的左顶点，若过点 $(3 ， 0)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 的右支交于 $P ， Q$ 两点，且直线 $A P ， A Q$ 与圆 $O ： x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 分别交于 $M ， N$ 两点，记四边形 $P Q N M$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ A M N$ 的面积为 $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的取值范围.

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