广东省广州市天河区2022-2023学年高一下学期期末数学试题

试卷更新日期：2023-07-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 复数 $i (1 + i)$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 一个单位有职工800人，其中具有高级职称的120人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其他人员160人.为了解职工收入情况，决定按等比例分层随机抽样的方法，从中抽取容量为40的样本.则高级职称应抽取（）

A、9人 B、8人 C、7人 D、6人

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3. 已知 $t a n (3 π + α) = - 2$ ，则 $t a n (α + \frac{π}{4})$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、－3 D、3

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4. 甲、乙两人独立地破译一份密码，密码被成功破译的概率为 $\frac{4}{5}$ ，已知甲单独破译密码的概率为 $\frac{3}{5}$ ，则乙单独破译密码的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{1}{5}$

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5. 海洋洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得 $C D = 60 m$ ， $∠ A D B = 135 °$ ， $∠ B D C = ∠ D C A = 15 °$ ， $∠ A C B = 120 °$ ，则A、B两点的距离为（）

A、 $30 \sqrt{3} m$ B、 $60 \sqrt{2} m$ C、 $60 \sqrt{3} m$ D、 $60 \sqrt{5} m$

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6. 以下说法错误的是（）

A、已知平面 $α$ ， $β$ ， $γ$ 满足 $α ⊥ γ$ ， $β ∥ α$ ，则 $β ⊥ γ$ B、已知直线a、l，平面 $α$ ， $β$ 满足 $a \subset α$ ， $a ∥ β$ ， $α ∩ β = l$ ，则 $a ∥ l$ C、如果空间中两个角的两条边分别对应平行，则这两个角相等 D、用一个平面去截一个正方体，截面图形有可能是等边三角形，不可能是直角三角形

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7. 为了解学生的课外阅读情况，某校对高中生进行平均每周课外阅读时间（单位：小时）的调查，采用样本量比例分配的分层随机抽样.如果不知道样本数据，只知道抽取了男生40人，其平均数和方差分别为5和1.65，抽取了女生60人，其平均数和方差分别为4和3.5，则估计该校学生平均每周课外阅读时间的总体方差为（）

A、2.58 B、2.76 C、3 D、3.2

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8. 已知 $△ A B C$ 中， $∠ A = 60 °$ ， $c = 6$ ， $b = 4$ ， O为 $△ A B C$ 的外心，若 $\vec{A O} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ，则（）

A、 $λ = \frac{1}{9}$ B、 $μ = \frac{1}{3}$ C、 $λ + μ = \frac{1}{6}$ D、 $λ + μ = \frac{11}{18}$

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二、多选题

9. 已知复数 $z = \frac{4}{1 + \sqrt{3} i}$ ，则（）

A、z的虚部是 $- \sqrt{3} i$ B、 $\bar{z} = 1 + \sqrt{3} i$ C、 $z \cdot \bar{z} = {| z |}^{2} = 4$ D、z是方程 $x^{2} - 2 x + 4 = 0$ 的一个根

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10. 下列说法正确的是（）

A、在一次试验中，随机事件A，B满足 $A ⊆ B$ ，则 $P (A B) = P (A)$ B、在一次试验中，随机事件A，B满足 $P (A) + P (B) = 1$ ，则事件A，B互为对立事件 C、已知一组数据8，5，7，6，6，9，10，8，7，9，则该组数据第70百分位数为8.5 D、已知一组数据8，5，7，6，6，9，10，8，7，9，去掉这组数据的众数后，所得的一组新数据的极差与原来的相同

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11. 下列说法正确的是（）

A、若非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} | + | \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ B、若非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ C、已知P是△ $A B C$ 所在平面内一点，若 $\vec{P A} + \vec{P B} + \vec{P C} = \vec{0}$ ，则点P是△ $A B C$ 的内心 D、已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， 1)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量是 $\frac{1}{2} \vec{b}$

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12. 如图，在边长为2的正方形 $S G_{1} G_{2} G_{3}$ 中，E、F分别是 $G_{1} G_{2}$ 、 $G_{2} G_{3}$ 的中点.若沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使 $G_{1}$ 、 $G_{2}$ 、 $G_{3}$ 三点重合，重合后的点记为G，则（）

A、 $G S ⊥ E F$ B、点G到平面SEF的距离为 $\frac{3}{4}$ C、三棱锥 $G - S E F$ 的外接球表面积为 $6 π$ D、二面角 $E - G S - F$ 等于 $45 °$

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三、填空题

13. 已知复数 $z = (m^{2} - m) + m i$ 是纯虚数，其中i为虚数单位，则实数m的值为.

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14. 已知 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是夹角为 $\frac{2 π}{3}$ 的两个单位向量，若 $\vec{a} = \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ 与 $\vec{b} = \vec{e_{1}} + 3 \vec{e_{2}}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的值为.

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15. 将函数 $y = c o s (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象向右平移 $φ (0 < φ < \frac{π}{2})$ 个单位长度，所得图象关于y轴对称，则 $φ =$ .

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四、双空题

16. 中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.如下图的印信，可以看成是将一个棱长等于2cm的正方体截去8个一样的四面体之后得到的，则该印信的所有棱长之和等于cm，该印信的表面积等于 $c m^{2}$ .

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五、解答题

17. 在一个盒子中有5个大小质地完全相同的球，其中蓝球、红球各2个，黄球1个，从中随机摸出2个球.

(1)、若采用有放回简单随机抽样，求恰好摸到一个红球的概率；

(2)、若采用无放回简单随机抽样，求取出的球颜色相同的概率.

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18. 某电子商务公司对10000名网络购物者2023年第一季度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间 $[0.3 ， 0.9]$ 内，其频率分布直方图如图所示.

(1)、求频率直方图中a的值，并估计这些网络购物者第一季度消费金额的平均数；

(2)、该电子商务公司决定对消费金额高的前18%的消费者进行奖励，若小明的消费金额是0.65万元，请你估算他会得到奖励吗？

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19. 如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，D是 $A_{1} C_{1}$ 的中点， $A A_{1} = A B = 2$ .

(1)、求证： $B C_{1} ∥$ 平面 $A B_{1} D$ ；

(2)、求 $B C_{1}$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 所成的角的正弦值.

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20. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $2 b - c = 2 a c o s C$ .

(1)、求A；

(2)、已知D是BC上的点，AD平分 $∠ B A C$ ，若 $b = 2 c$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求AD的长.

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21. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是直角梯形， $A D / / B C$ ， $∠ A B C = 90 °$ ，且侧面 $P A D ⊥$ 面ABCD，O是AD的中点， $2 A B = 2 B C = A D = P A = P D$ .

(1)、求证：平面 $P A C ⊥$ 平面POB；

(2)、当 $A B = 2$ 时，在棱PC上是否存在一点M，使得三棱锥 $P - A B M$ 的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，若存在，请求出 $\frac{P M}{P C}$ 的值，若不存在，请说明理由.

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22. 如图，树人中学在即将投入使用的新校门旁修建了一条专门用于跑步的红色跑道，跑道由三部分组成：第一部分为曲线段 $A B C Q$ ，该曲线段可近似看作函数 $y = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 在区间 $[- 4 ， 0]$ 上的图象，图象的最高点为 $C (- 1 ， 3)$ ；第二部分为线段 $Q D$ ；第三部分可近似看作是以O为圆心，以2为半径的扇形 $D O E$ ，其圆心角为 $\frac{π}{3}$ .

(1)、求曲线段 $A B C Q$ 的解析式；

(2)、若新校门位于图中的B点，其离 $A E$ 的距离为1.5千米，一学生准备从新校门笔直前往位于O点的立德楼，求该学生走过的路 $B O$ 的长；

(3)、若点P在劣弧 $\overset{⌢}{D E}$ 上（不含端点），点M和点N分别在线段 $O E$ 和线段 $O D$ 上， $N P / / O M$ ，且 $P M ⊥ x$ 轴.若梯形 $O M P N$ 区域为学生的休息区域，记 $∠ P O E = θ$ ，设学生的休息区域 $O M P N$ 的面积为 $S$ ，求 $S$ 的最大值及此时 $c o s 2 θ$ 的值.

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