广东省广州市荔湾区2022-2023学年高一下学期期末数学试题

试卷更新日期：2023-07-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知 $(1 + 2 i) z = 4 + 3 i$ ，则复数z等于（）

A、 $2 - i$ B、 $2 + i$ C、 $- 2 + i$ D、 $- 2 - i$

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2. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 0)$ ， $\vec{b} = (1 ， - 1)$ ，若 $\vec{a} + λ \vec{b}$ 与 $\vec{b}$ 垂直，则 $λ$ 等于（）

A、1 B、0 C、 $- 1$ D、 $- 2$

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3. 一个小商店从一家食品有限公司购进10袋白糖，每袋白糖的标准质量是500g，为了了解这些白糖的质量情况，称出各袋白糖的质量（单位：g）如下：495，500，503，508，498，500，493，500，503，500，记10袋白糖的平均质量为 $\bar{x}$ ，标准差为s，则质量位于 $\bar{x} - s$ 与 $\bar{x} + s$ 之间的白糖袋数是（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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4. 已知事件A，B，且 $P (A) = 0.7$ ， $P (B) = 0.2$ ，则（）

A、若 $B ⊆ A$ ，则 $P (A \cup B) = 0.7$ ， $P (A B) = 0.14$ B、若A，B互斥，则 $P (A \cup B) = 0.9$ ， $P (A B) = 0.14$ C、若A与B相互独立，则 $P (A \cup B) = 0.9$ ， $P (A B) = 0$ D、若A与B相互独立，则 $P (\bar{A} \bar{B}) = 0.24$ ， $P (\bar{A} B) = 0.06$

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5. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 是同一平面内的三个向量，则（）

A、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ， $\vec{b} ∥ \vec{c}$ ，则 $\vec{a} ∥ \vec{c}$ B、若 $\vec{a}$ 是非零向量， $\vec{b} \neq \vec{c}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c}$ 是 $\vec{a} ⊥ (\vec{b} - \vec{c})$ 的充要条件 C、若 $\vec{a} = (1 ， - 1)$ ， $\vec{b} = (2 ， - 3)$ ， $\vec{c} = (- 3 ， 4)$ ，则 ${\vec{a} + \vec{b} ， \vec{c}}$ 可以作为基底 D、若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 两两的夹角相等，且 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 1$ ， $| \vec{c} | = 3$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} | = 2$

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6. 某小区从2000户居民中随机抽取100户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50~350kW·h之间，进行适当的分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示．则（）

A、小区用电量平均数为186.5，极差为300 B、小区用电量中位数为171，众数为175 C、可以估计小区居民月用电量的85%分位数约为262.5 D、小区用电量不小于250kW·h的约有380户

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7. 已知母线长为a的圆锥的侧面展开图为半圆，在该圆锥内放置一个圆柱，则当圆柱的侧面积最大时，圆柱的体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{128} π a^{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{64} π a^{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{32} π a^{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{16} π a^{3}$

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8. 如图，设Ox，Oy是平面内相交成 $θ$ 角的两条数轴， $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量 $\vec{O P} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}}$ ，则把有序数对 $(x ， y)$ 叫做向量 $\vec{O P}$ 在坐标系xOy中的坐标，则该坐标系中 $M (x_{1} ， y_{1})$ 和 $N (x_{2} ， y_{2})$ 两点间的距离为（）

A、 $\sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2} - 2 (x_{1} - x_{2}) (y_{1} - y_{2}) s i n θ}$ B、 $\sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2} + 2 (x_{1} - x_{2}) (y_{1} - y_{2}) s i n θ}$ C、 $\sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2} - 2 (x_{1} - x_{2}) (y_{1} - y_{2}) c o s θ}$ D、 $\sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2} + 2 (x_{1} - x_{2}) (y_{1} - y_{2}) c o s θ}$

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二、多选题

9. 已知复数 $z_{1} = x + y i (x ， y \in R)$ ， $z_{2} = c o s θ + i s i n θ (θ \in R)$ ，则（）

A、 ${(z_{1} + z_{2})}^{2} = {| z_{1} + z_{2} |}^{2}$ B、复平面内 $z_{2}^{2}$ 对应的点的集合是单位圆 C、 $\bar{z_{1} + z_{2}} = \bar{z_{1}} + \bar{z_{2}}$ D、复平面内满足 $| z_{1} - i | = 1$ 的点的集合是线段

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10. 在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4．连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次底面朝下的数字，记事件 $A =$ “两次记录的数字之和为偶数”，事件 $B =$ “第一次记录的数字为偶数”；事件 $C =$ “第二次记录的数字为偶数”，则（）

A、 $P (A) = P (B) = P (C)$ B、 $P (A B) = P (B C) = P (A C)$ C、 $P (A) P (B) P (C) = \frac{1}{16}$ D、 $P (A B C) = \frac{1}{4}$

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11. 已知函数 $f (x) = c o s^{4} x - 2 s i n x c o s x - s i n^{4} x$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 的图象关于 $x = \frac{π}{4}$ 对称 B、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{3 π}{8} ， 0)$ 对称 C、函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{8} ， \frac{3 π}{8}]$ 上单调递减 D、函数 $f (x)$ 满足 $f (x + \frac{π}{2}) = \frac{1}{f (x)}$

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12. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，点 $E ， F$ 分别处线段 $A B$ 、 $A_{1} D_{1}$ 的中点，则（）

A、 $E F ⊥ C D_{1}$ B、直线 $E F$ 与 $B C_{1}$ 所成的角为 $60 °$ C、直线 $E F$ 与平面 $A B C_{1}$ 所成的角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ D、直线 $B_{1} D$ 与平面 $A_{1} B C_{1}$ 的交点是 $△ A_{1} B C_{1}$ 的重心

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三、填空题

13. 若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，且 $| z | = 2$ ，则z等于．（写出一个即可）

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14. 已知 $| \vec{a} | = 6$ ， $\vec{e} = (0 ， 1)$ ，当向量 $\vec{a}$ ， $\vec{e}$ 的夹角θ等于 $3 0^{∘}$ 时，向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{e}$ 上的投影向量为．

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15. 如图，长方体木块 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $B C = B B_{1} = 1$ ， $A B = 2$ ， E，F，G分别是线段 $A B_{1}$ ， $B_{1} C_{1}$ ， DC的中点，平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 上存在点P，满足 $D P$ $∥$ 平面EFG，则点D与满足题意的点P构成的平面截长方体所得截面的面积为．

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16. 如图，已知直线 $l_{1} / / l_{2}$ ， A是直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 之间的一定点，并且点A到 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的距离分别为 $h_{1}$ ， $h_{2}$ ， B，C分别为直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 上的动点，且满足 $∠ B A C = 12 0^{∘}$ ，则 $△ A B C$ 面积的最小值为．

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四、解答题

17. 将函数 $g (x) = t a n (2 x + \frac{π}{3})$ 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，得到函数 $f (x)$ 的图象．

(1)、解不等式 $g (x) \geq - 1$ ， $x \in [0 ， \frac{π}{4}]$ ；

(2)、证明： $t a n (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) + t a n (\frac{x}{2} - \frac{π}{4}) = 2 f (x)$ ．

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18. 如图， $A ， B$ 两点都在河的对岸（不可到达），为了测量 $A ， B$ 两点间的距离，在 $A ， B$ 两点的对岸选定两点 $C ， D$ ，测得 $C D = a$ ，并且在 $C ， D$ 两点分别测得 $∠ A C B = 60 °$ ， $∠ A C D = 45 °$ ， $∠ B D C = 30 °$ ， $∠ B D A = 75 °$ ，

(1)、求 $A ， B$ 两点间的距离；

(2)、设 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ，记 $△ A O D$ 与 $△ B O C$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，求 $S_{1} - S_{2}$ ．

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19. 如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $C A = 2$ ， $A A_{1} = 3$ ，点P，Q分别为线段 $A B_{1}$ ， $C C_{1}$ 的中点．

(1)、证明 $P Q$ $∥$ 平面ABC；

(2)、求多面体 $B_{1} P C Q$ 的体积．

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20. 某品牌计算机售后保修期为1年，根据大量的维修记录资料，这种品牌的计算机在使用一年内维修次数最多的是3次，其中维修1次的占15%，维修2次的占6%，维修3次的占4%．

(1)、若某人购买1台这种品牌的计算机，求下列事件的概率：A＝“在保修期内需要维修”；B＝“在保修期内维修不超过1次”；

(2)、若某人购买2台这种品牌的计算机，2台计算机在保修期内是否需要维修互不影响，求这2台计算机保修期内维修次数总和不超过2次的概率．

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21. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是边长为2的正方形，AC与BD相交于点O，E为CD的中点， $P A = P B = \sqrt{2}$ ， $∠ P A D = ∠ P B C$ ，

(1)、证明：平面 $P O E ⊥$ 平面ABCD；

(2)、当点A到平面PCD的距离最大时，求侧面PAB与底面ABCD所成二面角的大小．

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22. 某工艺品加工厂生产线一天能生产200件某款产品，该产品市场评级规定：工艺质量指标值大于或等于10的为A等品，小于10的为B等品．厂家将A等品售价定为160元/件，B等品售价定为140元/件．

下表是检验员在现有生产线上随机抽取的16件产品的工艺质量指标值：

9.95	10.12	9.96	9.96	10.01	9.92	9.98	10.04
10.26	9.91	10.13	10.02	9.22	10.04	10.05	9.95

经计算得 $\bar{x} = \frac{1}{16} \sum_{i = 1}^{16} x_{i} = 9.97$ ， $s^{2} = \frac{1}{16} \sum_{i = 1}^{16} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = \frac{1}{16} \sum_{i = 1}^{16} x_{i}^{2} - {\bar{x}}^{2} = 0.045$ ，其中 $x_{i}$ 为抽取的第i件产品的工艺质量指标值， $i = 1 ， 2 ， ⋯ ， 16$ ．

为了提高产品质量，该厂计划通过增加生产工序来改进生产工艺，已知增加生产工序每年需花费30万元，改进后该条生产线产能不变，但生产出的每件产品工艺质量指标值均提高0.05．

(1)、若将随机抽取的16件产品中各等级产品的频率视为概率，估计改进后该厂的年收益是否增加，并说明理由．（一年按365天计算）

(2)、根据随机抽取的16件产品的工艺质量指标值，估计改进后该厂一天生产的所有产品的工艺质量指标值的平均数和方差．

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